2020-2021学年天津市河东区八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2020-2021学年天津市河东区八年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020-2021学年天津市河东区八年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题：每小题3分，共36分
1．下列“表情”中属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
　
2．将0.00005用科学记数法表示应为（　　）
A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．5×10﹣6 D．0.5×10﹣4
　
3．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
　
4．下列计算正确的是（　　）
A．（m﹣2n）（m﹣n）=m2﹣3mn+2n2 B．（m+1）2=m2﹣1
C．﹣m（m2﹣m﹣1）=﹣m3+m2﹣m D．（m+n）（m2+mn+n2）=m3+n2
　
5．下列计算正确的是（　　）
A．m3•m3=2m3 B．m4÷m2=2 C．（﹣mn）4=m4n4 D．（2m3）3=6m6
　
6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（　　）
A．22 B．17 C．17或22 D．26
　
7．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
　
8．如图，在△ABC中，点F在边AB上，EC=AC，CF，EA的延长线交于点D，且∠BCD=∠ACE=∠DAB，则DE等于（　　）

A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
　
9．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长交AC，AB于E，F点，则此图中全等三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
　
10．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（　　）

A．2 B．3 C．6 D．不能确定
　
11．（2015秋•河东区期末）如果a2﹣ab﹣4c是一个完全平方式，那么c等于（　　）
A． b2 B．﹣b2 C． b2 D．﹣b2
　
12．关于x分式方程﹣=1的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＞2且m≠3 D．m≠1
　
13．小张和小李同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，小张比小李每小时多走1千米，结果比小李早到半小时，两位同学每小时各多走多少千米？设小李每小时走x千米，依题意，得到方程（　　）
A．﹣= B． C． D．
　
14．（2013•朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
　
　
二、填空题：每小题3分，公18分
15．当x　　　　　　时，分式有意义．
　
16．（2015秋•河东区期末）当x　　　　　　时，分式有值为正数．
　
17．分解因式：x2﹣1=　　　　　　．
　
18．（2015秋•河东区期末）分解因式：﹣3x2y3+27x2y=　　　　　　．
　
19．计算：（）﹣2+（）0=　　　　　　．
　
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　　　　　度．

　
21．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是　　　　　　．
　
22．已知，则的值为　　　　　　．
　
23．（2015秋•河东区期末）如图，已知∠AOB=30°，P为其内部一点，OP=3，MN分别为OA、OB边上的一点，则△PMN的周长的最小值为　　　　　　．

　
　
三、解答题：19、23、24小题6分，20小题4分，21、22、25小题8分，共46分
24．计算题：
（1）（﹣a2）3b2÷2a4b
（2）（x+3）2+（x+2）（x﹣2）﹣2x2
（3）（x2﹣1）•（+﹣）
　
25．有一道题“先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣．”小玲做题时把：“x=﹣”错抄成了“x=”，但他的计算结果也是正确的，请你通过计算解释这是怎么回事？
　
26．分解因式：
（1）3x﹣12x2
（2）a2﹣4ab+4b2
（3）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2．
　
27．（2015秋•河东区期末）分解因式：
（1）8a（x﹣a）﹣4b（a﹣x）+6c（x﹣a）
（2）2x3﹣x
（3）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2．
　
28．解方程：
（1）+=1
（2）﹣．
　
29．如图，△ABC的∠B，∠C的外角的平分线交于点P．
（1）若∠ABC=50°，∠A=70°，则∠P=　　　　　　°．
（2）若∠ABC=48°，∠A=70°，则∠P=　　　　　　°．
（3）若∠A=68°，则∠P=　　　　　　°．
（4）根据以上计算，试写出∠P与∠A的数量关系：　　　　　　．

　
30．（2015秋•河东区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．
　
31．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相同，篮球与足球的单价各是多少元？
　
32．在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，点P、D分别在AB、OB上，
（1）如图1中，若PO=PD，∠OPD=45°，证明△BOP是等腰三角形．
（2）如图2中，若AB=10，点P在AB上移动，且满足PO=PD，DE⊥AB于点E，试问：此时PE的长度是否变化？若变化，说明理由；若不变，请予以证明．

　
　

2020-2021学年天津市河东区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：每小题3分，共36分
1．下列“表情”中属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义，能沿一条直线对折直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，分别判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义判断出图形的性质是解决问题的关键，难度一般．
　
2．将0.00005用科学记数法表示应为（　　）
A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．5×10﹣6 D．0.5×10﹣4
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00005=5×10﹣5，故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
　
3．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】最简分式．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、不是最简分式，错误；
B、不是最简分式，错误；
C、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，正确；
D、不是最简分式，错误；
故选C．
【点评】此题考查最简分式问题，关键是根据分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
　
4．下列计算正确的是（　　）
A．（m﹣2n）（m﹣n）=m2﹣3mn+2n2 B．（m+1）2=m2﹣1
C．﹣m（m2﹣m﹣1）=﹣m3+m2﹣m D．（m+n）（m2+mn+n2）=m3+n2
【考点】整式的混合运算．
【分析】根据整式的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（m﹣2n）（m﹣n）=m2﹣mn﹣2mn+2n2=m2﹣3mn+2n2故正确；
B、（m+1）2=m2+2m+1故错误；
C、﹣m（m2﹣m﹣1）=﹣m3+m2+m故错误；
D、（m+n）（m2+mn+n2）=m3+m2n+mn2+nm2+mn2+n2=m3+2m2n+2mn2+n3故错误；
故选A．
【点评】本题考查整式的乘法以及乘法公式，熟练运用法则是解题的关键．
　
5．下列计算正确的是（　　）
A．m3•m3=2m3 B．m4÷m2=2 C．（﹣mn）4=m4n4 D．（2m3）3=6m6
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；
D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
　
6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（　　）
A．22 B．17 C．17或22 D．26
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
　
7．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7=15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．
判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
　
8．如图，在△ABC中，点F在边AB上，EC=AC，CF，EA的延长线交于点D，且∠BCD=∠ACE=∠DAB，则DE等于（　　）

A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据已知条件推出三角形全等的条件，证明△CDE≌△CBA，得到对应边相等．
【解答】解：∵∠DAB=∠BCD，∠AFC=∠DFB，
∴∠D=∠B，
∵∠DCB=∠ACE，
∴∠DCB+∠ACD=∠ACE+∠ACD，
即∠BCA=∠DCE，
在△CDE与△CBA中，
，
∴△CDE≌△CBA（AAS），
∴DE=AB，
故选C．
【点评】本题考查了等式的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
　
9．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长交AC，AB于E，F点，则此图中全等三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【考点】全等三角形的判定．
【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD=CD，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，
又∠EDB=∠FDC，
∴∠ADE=∠ADF，
∴△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE．
∴△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，共4对．
故选C．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
10．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（　　）

A．2 B．3 C．6 D．不能确定
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．
故选A．
【点评】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
　
11．（2015秋•河东区期末）如果a2﹣ab﹣4c是一个完全平方式，那么c等于（　　）
A． b2 B．﹣b2 C． b2 D．﹣b2
【考点】完全平方式．
【分析】根据完全平方式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，据此即可求解．
【解答】解：根据题意，得：a2﹣ab﹣4c=（a﹣b）2，
∴4c=（b）2，
∴c=b2
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式；熟记a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2是解决问题的关键．
　
12．关于x分式方程﹣=1的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＞2且m≠3 D．m≠1
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，由解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：m﹣3=x﹣1，
解得：x=m﹣2，
由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，
解得：m＞2且m≠3．
故选C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
　
13．小张和小李同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，小张比小李每小时多走1千米，结果比小李早到半小时，两位同学每小时各多走多少千米？设小李每小时走x千米，依题意，得到方程（　　）
A．﹣= B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间﹣小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设小李每小时走x千米，依题意得：
﹣=，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
　
14．（2013•朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③．
【解答】解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正确；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故正确；
③∵S△BFD=BF•DF，S△CDE=CE•DE，DF=DE，
∴；故正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故错误．
故选A．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
　
二、填空题：每小题3分，公18分
15．当x　≠0　时，分式有意义．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：当x≠时，分式有意义，
故答案为：≠0．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
　
16．（2015秋•河东区期末）当x　＜1　时，分式有值为正数．
【考点】分式的值．
【专题】计算题；分式．
【分析】根据分式的值为正数，求出x的范围即可．
【解答】解：由题意得：＞0，即1﹣x＞0，
解得：x＜1．
故答案为：＜1．
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
17．分解因式：x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
　
18．（2015秋•河东区期末）分解因式：﹣3x2y3+27x2y=　﹣3x2y（x+3）（x﹣3）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式﹣3x2y，再根据平方差公式进行二次分解，即可求得答案．
【解答】解：﹣3x2y3+27x2y=﹣3x2y（y2﹣9）=﹣3x2y（x+3）（x﹣3）．
故答案为：﹣3x2y（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
　
19．计算：（）﹣2+（）0=　5　．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【分析】分别进行负整数指数幂、零指数幂的运算，然后按照实数的运算法则计算即可．
【解答】解：原式=4+1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了负整数指数幂以及零指数幂的知识，属于基础题，掌握各运算法则是解题关键．
　
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　15　度．

【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
　
21．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是　±5　．
【考点】完全平方公式．
【专题】计算题．
【分析】先求出（a+b）的平方，然后把a2+b2=13，ab=6代入求解，最后再开平方即可．
【解答】解：∵a2+b2=13，ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab，
=13+12，
=25，
∴a+b=±5．
【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
　
22．已知，则的值为　1　．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先根据﹣=3得出x﹣y与xy的关系，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把x﹣y=﹣3xy代入进行计算即可．
【解答】解：∵﹣=3，
∴=3，即x﹣y=﹣3xy，
∴原式====1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
　
23．（2015秋•河东区期末）如图，已知∠AOB=30°，P为其内部一点，OP=3，MN分别为OA、OB边上的一点，则△PMN的周长的最小值为　3　．

【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
故答案为：3．

【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
　
三、解答题：19、23、24小题6分，20小题4分，21、22、25小题8分，共46分
24．计算题：
（1）（﹣a2）3b2÷2a4b
（2）（x+3）2+（x+2）（x﹣2）﹣2x2
（3）（x2﹣1）•（+﹣）
【考点】整式的混合运算；分式的混合运算．
【分析】（1）根据单项式的乘方法则、单项式除以单项式的法则进行计算．
（2）先用乘法公式化简，然后合并同类项．
（3）选去括号，后合并同类项．
【解答】解：（1）原式=﹣a6b2÷2a4b=﹣a2b．
（2）原式=x2+6x+9+x2﹣4﹣2x2=6x+5．
（3）原式=（x﹣1）2+（x+1）2﹣1=x2﹣2x+1+x2+2x+1﹣1=2x2+1．
【点评】本题考查单项式的乘方、乘法、除法法则、乘法公式以及分式的混合运算，正确掌握法则是解题的关键．
　
25．有一道题“先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣．”小玲做题时把：“x=﹣”错抄成了“x=”，但他的计算结果也是正确的，请你通过计算解释这是怎么回事？
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a﹣b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=•（x2﹣4）
=x2+4．
∵x=﹣或x=时x2的值均为3，
∴原式的值为x2+4=7．
∴他的计算结果也是正确的．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
　
26．分解因式：
（1）3x﹣12x2
（2）a2﹣4ab+4b2
（3）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2．
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式分解即可；
（3）原式变形后，提取公因式即可得到结果；
（4）原式利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=3x（1﹣4x）；
（2）原式=（a﹣2b）2；
（3）原式=n2（m﹣2）+n（m﹣2）=n（m﹣2）（n+1）；
（4）原式=（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）=（a+2b）2（a﹣2b）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
　
27．（2015秋•河东区期末）分解因式：
（1）8a（x﹣a）﹣4b（a﹣x）+6c（x﹣a）
（2）2x3﹣x
（3）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）直接提取公因式2（x﹣a），进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（3）直接提取公因式n（m﹣2），进而分解因式得出答案；
（4）直接利用平方差公式分解因式，进而结合完全平方公式的答案．
【解答】解：（1）8a（x﹣a）﹣4b（a﹣x）+6c（x﹣a）
=8a（x﹣a）+4b（x﹣a）+6c（x﹣a）
=2（x﹣a）（4a+2b+3c）；

（2）2x3﹣x=x（4x2﹣1）=x（2x﹣1）（2x+1）；

（3）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n（m﹣2）（n+1）；

（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2
=（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）
=（a+2ab）2（a﹣2b）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
　
28．解方程：
（1）+=1
（2）﹣．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：5﹣x﹣1=x﹣4，
移项合并得：x=4，
经检验x=4是增根，分式方程无解；
（2）方程整理得： +=0，
去分母得：6（x+2）+x﹣6=0，
去括号得：6x+12+x﹣6=0，
移项合并得：7x=﹣6，
解得：x=﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
　
29．如图，△ABC的∠B，∠C的外角的平分线交于点P．
（1）若∠ABC=50°，∠A=70°，则∠P=　55　°．
（2）若∠ABC=48°，∠A=70°，则∠P=　55　°．
（3）若∠A=68°，则∠P=　56　°．
（4）根据以上计算，试写出∠P与∠A的数量关系：　∠P=90°﹣∠A　．

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】（1）（2）根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB，再根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠PBC和∠PCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠PBC+∠PCB，再利用三角形的内角和定理列式整理可得∠P=90°﹣∠A；
（4）根据计算结果写出即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC=50°，∠A=70°，
∴∠ACB=180°﹣50°﹣70°=60°，
∵∠B，∠C的外角的平分线交于点P，
∴∠PBC=（180°﹣50°）=65°，∠PCB=（180°﹣60°）=60°，
在△PBC中，∠P=180°﹣65°﹣60°=55°；

（2）∵∠ABC=48°，∠A=70°，
∴∠ACB=180°﹣48°﹣70°=62°，
∵∠B，∠C的外角的平分线交于点P，
∴∠PBC=（180°﹣48°）=66°，∠PCB=（180°﹣62°）=59°，
在△PBC中，∠P=180°﹣66°﹣59°=55°；

（3）∵∠B，∠C的外角的平分线交于点P，
∴∠PBC+∠PCB=（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC），
=（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），
=（180°+∠A），
=90°+∠A，
在△PBC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A；
∵∠A=68°，
∴∠P=90°﹣34=56°；

（4）∠P=90°﹣∠A．
故答案为：（1）55；（2）55；（3）56；（4）∠P=90°﹣∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的角平分线的定义，利用整体思想推出（3）的结论是解题的关键．
　
30．（2015秋•河东区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．
【考点】因式分解-分组分解法．
【专题】阅读型．
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
=（x﹣y）2﹣42
=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；

（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc=0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，
∴（a﹣b）（a﹣c）=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
　
31．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相同，篮球与足球的单价各是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设篮球的单价为x元，则足球的单价为（x﹣40）元，根据用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相同，列方程求解．
【解答】解：设篮球的单价为x元，
依题意得， =，
解得：x=100，
经检验：x=100是原分式方程的解，且符合题意，
则足球的价钱为：100﹣40=60（元）．
答：篮球和足球的单价分别为100元，60元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
　
32．在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，点P、D分别在AB、OB上，
（1）如图1中，若PO=PD，∠OPD=45°，证明△BOP是等腰三角形．
（2）如图2中，若AB=10，点P在AB上移动，且满足PO=PD，DE⊥AB于点E，试问：此时PE的长度是否变化？若变化，说明理由；若不变，请予以证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题；探究型．
【分析】（1）由PO=PD，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得∠POD=67.5°，∠OPB=67.5°，然后利用等角对等边可得出结论；
（2）过点O作OC⊥AB于C，首先利用等腰直角三角形的性质可以得到∠COB=∠B=45°，OC=5，然后证得∠POC=∠DPE，进而利用AAS证明△POC≌△DPE，再根据全等三角形的性质可得OC=PE．
【解答】（1）证明：∵PO=PD，∠OPD=45°，
∴∠POD=∠PDO==67.5°，
∵等腰直角三角形AOB中，AO⊥OB，
∴∠B=45°，
∴∠OPB=180°﹣∠POB﹣∠B=67.5°，
∴∠POD=∠OPB，
∴BP=BO，即△BOP是等腰三角形；
（2）解：PE的值不变，为PE=5，证明如下：
如图，过点O作OC⊥AB于C，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB=∠B=45°，点C为AB的中点，
∴OC=AB=5，
∵PO=PD，
∴∠POD=∠PDO，
又∵∠POD=∠COD+∠POC=45°+∠POC，∠PDO=∠B+∠DPE=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE，
在△POC和△DPE中，
，
∴△POC≌△DPE（AAS），
∴OC=PE=5，
∴PE的值不变，为5．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形等知识，解答（2）的关键是正确作出辅助线，并利用AAS证得△POC≌△DPE．