辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编（9）——图形的初步认识与三角形

这是一份辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编（9）——图形的初步认识与三角形，共21页。

2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（9）——图形的初步认识与三角形
一．平行线的性质（共8小题）
1．（2020•朝阳）如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则∠BAD+∠DOC∠ADO的值为（　　）

A．1 B．12 C．2 D．无法确定
2．（2020•鞍山）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．54° C．72° D．73°
3．（2020•葫芦岛）一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
4．（2020•丹东）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为（　　）

A．100° B．110° C．125° D．135°
5．（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为
（　　）

A．66° B．56° C．68° D．58°
6．（2019•鞍山）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
7．（2019•抚顺）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．25° C．45° D．60°
8．（2020•盘锦）如图，直线a∥b，△ABC的顶点A和C分别落在直线a和b上，若∠1＝60°，∠ACB＝40°，则∠2的度数是　 　．

二．三角形的面积（共3小题）
9．（2020•阜新）如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是　 　．

10．（2020•葫芦岛）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于　 　．（用含有正整数n的式子表示）

11．（2020•丹东）如图，在矩形OAA1B中，OA＝3，AA1＝2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3=23OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4=23OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为　 　．

三．三角形内角和定理（共3小题）
12．（2020•沈阳）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
13．（2020•大连）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
14．（2019•铁岭）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　）

A．45° B．50° C．55° D．80°
四．三角形的外角性质（共2小题）
15．（2020•锦州）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°
16．（2019•营口）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（　　）

A．64° B．32° C．30° D．40°
五．全等三角形的判定与性质（共3小题）
17．（2020•朝阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC=94，现给出下列结论：①GEAG=13；②sin∠BOF=31010；③OF=355；④OG＝BG；其中正确的结论有（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
18．（2019•盘锦）如图，点A1，A2，A3…，An在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，∁n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B1B3＝…＝Bn﹣1Bn=32a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，AnBn⊥Bn∁n，…，则第n个四边形OAnBn∁n的面积是　 　．

19．（2020•大连）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝CE．求证：∠ADE＝∠AED．

六．等腰三角形的性质（共1小题）
20．（2019•抚顺）若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
七．等边三角形的性质（共2小题）
21．（2020•阜新）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为　 　．

22．（2019•大连）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为　 　．

八．直角三角形的性质（共1小题）
23．（2019•朝阳）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（　　）

A．83° B．57° C．54° D．33°
九．含30度角的直角三角形（共2小题）
24．（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为　 　．

25．（2019•丹东）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是　 　．

一十．勾股定理的应用（共1小题）
26．（2020•盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　）

A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2
C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2
一十一．等腰直角三角形（共2小题）
27．（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．40°
28．（2020•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是　 　．

一十二．三角形中位线定理（共1小题）
29．（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　 　．

一十三．三角形综合题（共8小题）
30．（2020•大连）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．

（1）填空：与∠CAG相等的角是　 　；
（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；
（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求ACAB的值．
31．（2020•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为　 　，AB的长为　 　；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为　 　（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t=43时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为　 　．

32．（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB=13时，请直接写出CEBE的值．

33．（2019•铁岭）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是　 　．
（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．
（3）若AB＝6，DG＝1，cosB=34，请直接写出CF的长．

34．（2019•阜新）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD=2CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．

35．（2019•锦州）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．
（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，
求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；
（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．

36．（2019•葫芦岛）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．
（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出CEAB的值．

37．（2019•沈阳）思维启迪：
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　 　米．
思维探索：
（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是　 　；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值．


2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（9）——图形的初步认识与三角形
参考答案与试题解析
一．平行线的性质（共8小题）
1．【解答】解：如图，过点D作DE∥AB交AO于点E，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，
∵DE∥AB，
∴AB∥DE，DE∥OC，
∴∠BAD＝∠ADE，∠DOC＝∠ODE，
∴∠BAD+∠DOC∠ADO=∠ADE+∠EDO∠ADO=∠ADO∠ADO=1．
故选：A．

2．【解答】解：∵l1∥l2，∠ABC＝54°，
∴∠2＝∠ABC＝54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝54°，
∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠1＝72°．


故选：C．
3．【解答】解：∵AB∥DE，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠BDE，∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，
∴∠ADB＝60°，∠ABD＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝80°，
故选：B．
4．【解答】解：∵CO是△ABC的角平分线，
∴∠DCB＝∠DCA．
∵BD∥AC，
∴∠A＝∠DBA＝45°，∠D＝∠ACD＝∠DCB．
∵∠AOD＝∠D+∠DBA，
∴∠D＝∠AOD﹣∠DBA
＝80°﹣45°
＝35°．
∴∠DCB＝35°．
∵∠D+∠DCB+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝110°．
故选：B．

5．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
6．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°．
∵HM平分∠CHG，
∴∠CHM＝∠GHM=12∠CHG＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠GMH＝∠CHM＝65°．
故选：D．
7．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠DEF＝45°．
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
8．【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝∠ACB+∠2，
∵∠1＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠2＝60°﹣40°＝20°，
故答案为20°．
二．三角形的面积（共3小题）
9．【解答】解：∵把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，
∴AC∥A1C1，
∴△ABC∽△A1BD，
∵S△A1BD：S四边形ACDA1＝4：5，
∴S△A1BD：S△ABC＝4：9，
∴A1B：AB＝2：3，
∵AB＝4，
∴A1B=83，
∴AA1＝4-83=43．
故答案为：43．

10．【解答】解：设△ADC的面积为S，
由题意，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，
∴△ACD∽△B2B1D，
∴S△ADCS△B1B2D=（ACB1B2）2=14，
∴S△B1B2D=4S，
∵CDDB1=ACB1B2=12，CB1＝2，
∴DB1=43，
同法D1B2=83，
∵DB1∥D1B2，
∴DEEB2=DB1D1B2=12，
∴S△DB1E=4S3，
∴S1＝S+4S3=7S3，
∵△A1C1D1∽△ACD，
∴S△A1C1D1S△ACD=（A1C1AC）2=14，
∴S△A1C1D1=4S，
同法可得，S△D1B1E1=16S3，
∴S2＝4S+16S3=28S3=7S3×4，
…
Sn=7S3×4n﹣1，
∵S=12×2×23=23，
∴Sn=149×4n﹣1．
故答案为：149×4n-1．
11．【解答】解：在矩形OAA1B中，∵OA＝3，AA1＝2，
∴∠A＝90°，
∴OA1=OA2+A1A2=22+32=13，
∵A1A2OA1=AA1OA=23，
∴A1A2AA1=OA1OA，
∵∠OA1A2＝∠A＝90°，
∴△OA1A2∽△OAA1，
∴∠A1OA2＝∠AOA1，
∵A1B∥OA，
∴∠CA1O＝∠AOA1，
∴∠COA1＝∠CA1O，
∴OC＝CA1，
∵∠A2OA1+∠OA2A1＝90°，∠OA1C+∠A2A1C＝90°，
∴∠CA2A1＝∠CA1A2，
∴CA1＝CA2＝OC，
同法可证OC1＝A3C1，
∴CC1∥A2A3，CC1=12A2A3，
∴S△CC1A3=S△CC1A2，
∵A1A2=2133，
∴OA2=A1O2+A1A22=(13)2+(2133)2=133，
∴A2A3=23×133=269，
∴CC1=12A2A3=139，
∴S△CC1A3=S△CC1A2=12×139×136=169108，
同法可证S△C1C2A4=S△C1C2A3，
由题意，A3C1A2C=OA3OA2=OA2OA=133，
∵△C2A3C1∽△C1A2C，
∴相似比为：A3C1A2C=133，
∴S△C1C2A4=（133）2×169108=13333×36，S△C2C3A5=13435×36，…，
由此规律可得，△C2019C2020A2022的面积为13202134039×36．
故答案为13202134039×36．

三．三角形内角和定理（共3小题）
12．【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°，
故选：B．
13．【解答】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠C＝80°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°，
故选：D．
14．【解答】解：连接AC并延长交EF于点M．

∵AB∥CF，
∴∠3＝∠1，
∵AD∥CE，
∴∠2＝∠4，
∴∠BAD＝∠3+∠4＝∠1+∠2＝∠FCE，
∵∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠BAD＝∠FCE＝50°，
故选：B．
四．三角形的外角性质（共2小题）
15．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°（三角形内角和定义）．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=12∠ACB=12×100°＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．
故选：C．
16．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B＝32°，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝64°，
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝64°﹣32°＝32°，
故选：B．
五．全等三角形的判定与性质（共3小题）
17．【解答】解：如图，过点O作OH∥BC交AE于点H，过点O作OQ⊥BC交BC于点Q，过点B作BK⊥OM交OM的延长线于点K，

∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=12BD，OC=12AC，AC=BD，∠OBM=∠OCN=45°，OB⊥OC，AD∥BC，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠BOM+∠MOC＝90°．
∵OP⊥OF，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON+∠MOC＝90°，
∴∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S△BOM＝S△CON，
∴S四边形MONC=S△BOC=12OB⋅OC=94，
∴OB=OC=322，
∴BC=322×2=3．
∵CE＝2BE，
∴BE=13BC=1，
∴AE=AB2+BE2=10．
∵BF⊥AE，
∴12AE⋅BF=12AB⋅ME，
∴BF=31010，
∴AF=AB2-BF2=91010，
∴HF=2105，EF=1010，
∴OFFM=HFEF=OHME=4，
∴ME=14OH=14×1=14，
∴BM=34，MQ=34．
∵AD∥BC，
∴GEAG=BEAD=13，故①正确；
∵OH∥BC，
∴OHEC=AOAC=AHAE=12，∠HOG=∠GBE，
又∵CE＝2BE，
∴OH＝BE，AH＝HE=102．
∵∠HGO＝∠EGB，
∴△HOG≌△EBG（AAS），
∴OG＝BG，故④正确；
∵OQ2+MQ2＝OM2，
∴OM=OQ2+MQ2=354，
∴OF=354×45=355，故③正确；
∵12OM⋅BK=12BM⋅OQ，
即12×354⋅BK=12×34×32，
∴BK=3510，
∴sin∠BOF=BKOB=1010，故②错误；
∴正确的有①③④．
故选：D．
18．【解答】解：如图，过点C1作C1E⊥OB1于点E，过点A1作A1F⊥OB1于点F，过点B1分别作B1H⊥OC1于点H，B1N⊥OA1于点N，
∵∠B1OC1＝∠B1OA1，
∴B1H＝B1N
∵∠HB1N＝∠C1BA1＝90°
∴∠HB1C1＝∠NB1A1
∵∠B1HC1＝∠B1NA1＝90°
∴△B1HC1≌△B1NA1（AAS）
∴B1C1＝B1A1
∵∠C1B1F+∠A1B1F＝90°，∠A1B1F＝90°
∴∠C1B1F＝∠B1A1F
∵∠C1EB1＝∠B1FA1＝90°
∴△B1C1E≌△A1B1F（AAS）
∴C1E＝B1F
∵∠B1OA1＝45°
∴∠FA1O＝45°
∴A1F＝OF
∴C1E+A1F＝B1F+OF＝OB1
S四边形OA1B1C1=S△OB1C1+S△OB1A1=12OB1•C1E+12OB1⋅A1F=12OB1（C1E+A1F）=12OB12=12(3a2)2=38a2，
同理，S四边形OA2B2C2=12OB22=12(3a2⋅2)2=38a2⋅22，
S四边形OA3B3C3=12OB32=12(3a2⋅3)2=38a2⋅32，
…，
S四边形OAnBnCn=12OBn2=12(3a2⋅n)2=38a2⋅n2=3n2a28．
故答案为：3n2a28．

19．【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠CBD=CE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE（全等三角形对应边相等），
∴∠ADE＝∠AED（等边对等角）．
六．等腰三角形的性质（共1小题）
20．【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
能组成三角形，
所以，第三边为4；
②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，第三边为4．
故选：C．
七．等边三角形的性质（共2小题）
21．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠1＝42°，a∥b，
∴∠2＝∠1+∠BAC＝42°+60°＝102°；
故答案为：102°．

22．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴AD=ABtan30°=233=23．
故答案为23．
八．直角三角形的性质（共1小题）
23．【解答】解：过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B＝25°．
又AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠FCE＝∠E＝90°﹣∠D＝90°﹣58°＝32°．
∴∠BCE＝∠BCF+∠FCE＝25°+32°＝57°．

故选：B．
九．含30度角的直角三角形（共2小题）
24．【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°=3，
∵A1B1∥A2B2，
∴A2B2A1B1=OA2OA1，
∴A2B23=1+31，
∴A2B2=3（1+3），
同法可得，A3B3=3（1+3）2，
…
由此规律可知，A2020B2020=3（1+3）2019，
故答案为3（1+3）2019．
25．【解答】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝BD+CD＝1+2＝3，
故答案为：3．
一十．勾股定理的应用（共1小题）
26．【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x﹣1）2+52＝x2，
故选：B．
一十一．等腰直角三角形（共2小题）
27．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，
故选：C．

28．【解答】解：过点E作EH⊥BF于H．
∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，
∴AD＝AC＝42，
∵DF＝FC，AE＝EC，
∴EF=12AD＝22，EF∥AD，
∴∠FEC＝∠DAC＝90°，
∵∠ABC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC＝22，
∴EF＝BE＝22，
∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，
∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，
∴∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，
∴∠FEB＝90°+30°＝120°，
∴∠EFB＝∠EBF＝30°，
∵EH⊥BF，
∴EH=12EF=2，FH=3EH=6，
∴BF＝2FH＝26，
∴S△EFB=12•BF•EH=12×26×2=23．
故答案为23．

一十二．三角形中位线定理（共1小题）
29．【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
一十三．三角形综合题（共8小题）
30．【解答】解：（1）∵CA＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
故答案为：∠CGA；
（2）AD=12BD，理由是：
如图，在CG上取点M，使GM＝AF，连接AM，EM，
∵∠CAG＝∠CGA，AG＝GA，
∴△AGM≌△GAF（SAS），
∴AM＝GF，∠AFG＝∠AMG，
∵GF＝DE，∠AFG＝∠CDE，
∴AM＝DE，∠AMG＝∠CDE，
∴AM∥DE，
∴四边形AMED为平行四边形，
∴AD＝EM，AD∥EM，
∵BE＝CE，即点E为BC中点，
∴ME为△BCD的中位线，
∴AD＝ME=12BD，
即AD=12BD．
（3）延长BA至点N，使AD＝AN，连接CN，
∵∠BAC＝∠NAC＝90°，
∴AC垂直平分DN，
∴CD＝CN，
∴∠ACD＝∠ACN，
设∠ACD＝α＝∠ACN，则∠ABC＝2α，
则∠ANC＝90°﹣α，
∴∠BCN＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴BN＝BC，即△BCN为等腰三角形，
设AD＝1，则AN＝1，BD＝2，
∴BC＝BN＝4，AB＝3，
∴AC=BC2-AB2=7，
∴ACAB=73．

31．【解答】解：（1）∵A（4，4），B（6，0），
∴OA=42+42=42，AB=(6-4)2+42=25．
故答案为42，25．

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，4），B（6，0）代入得到，4k+b=46k+b=0，
解得k=-2b=12，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
由题意点N的纵坐标为1，
令y＝1，则1＝﹣2x+12，
∴x=112，
∴N（112，1）．

（3）当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝﹣2x+12，得到x=12-t2，
∴N（12-t2，t），
∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，
∴OP＝PM＝t，
∴MN＝PN﹣PM=12-t2-t=12-3t2．
故答案为12-3t2．

（4）．如图，当t=43时，MN=12-3×432=4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．

由题意S1•S2=12•m×4×12（4﹣m）×4＝﹣4m2+16m＝﹣4（m﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴m＝2时，S1•S2有最大值，最大值为16．
故答案为16．
32．【解答】解：（1）连接AC，如图①所示：
∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE=3BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，AF=CE∠A=∠CAB=CB，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF=12×（180°﹣∠FBE）=12×（180°﹣120°）＝30°，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，BH=12BE，FH＝EH=3BH=32BE，
∴EF＝2EH＝2×32BE=3BE，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴AE=3BE+CE；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
由（2）得：FH＝EH=32BE，
∵tan∠DAB=BHAH=13，
∴AH＝3BH=32BE，
∴CE＝AF＝AH﹣FH=32BE-32BE=3-32BE，
∴CEBE=3-32；
②当点D在线段CB的延长线上时，
在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：
同①得：FH＝EH=32BE，AH＝3BH=32BE，
∴CE＝AF＝AH+FH=32BE+32BE=3+32BE，
∴CEBE=3+32；
综上所述，当α＝120°，tan∠DAB=13时，CEBE的值为3-32或3+32．



33．【解答】解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，
∵∠GEF+∠BAC＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠AGE＝∠CFE，
∵∠GAE＝∠C＝45°，
∴△AEG≌△CEF（AAS），
∴AG＝CF；
故答案为：AG＝CF；

（2）AG=12CF，
理由：如图2，连接AE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝90°，∠BAE＝∠C，
∵∠GEF+∠BAC＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝180°，
∵∠CFE+∠AFE＝180°，
∴∠AGE＝∠CFE，
∴△AGE∽△CFE，
∴AGCF=AECE，
在Rt△ACE中，∵∠C＝30°，
∴AECE=sinC=12，
∴AGCF=12，
∴AG=12CF；

（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝3，AE＝BE，
∵cosB=BDBE，
∴BE=BDcosB=334=4，
∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠GEF+∠BAC＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝∠AGE，
∴△CFE∽△AGE，
∴CFAG=CEAE，
过 A作AH⊥BC于点H，
∵cosB=34，cos45°=22，
∵34＞22，
∴∠B＜45°，
∴E在H的左侧，
∵cosB=BHAB=34，
∴BH=34AB=34×6=92，
∵AB＝AC，
∴BC＝2BH＝9，
∵BE＝4，
∴CE＝9﹣4＝5，
∵AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，
∴CF2=54，
∴CF＝2.5；
②当点G在BD上，如图4，同（1）可得，△CFE∽△AGE，
∴CFAG=CEAE，
∵AG＝AD+DG＝3+1＝4，
∴CF4=54，
∴CF＝5，
综上所述，CF的长为2.5或5．




34．【解答】（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∵∠EAC+∠DAC＝180°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA＝90°，
∴∠ACE+∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD＝CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=2CD，
∵DE＝AD+AE，AE＝BD，
∴DE＝AD+BD，
∴AD+BD=2CD；
（2）解：AD﹣BD=2CD；
理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，
∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝90°，
即∠DCE＝90°，
∴DE=CD2+CE2=2CD2=2CD，
∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，
∴AD﹣BD=2CD．

35．【解答】（1）证明：①∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠CDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDF；
②作FH⊥BC交BC的延长线于H，
在△ACD和△DHF中，
∠CAD=∠HDF∠ACD=∠DHF=90°AD=DF，
∴△ACD≌△DHF（AAS）
∴DH＝AC，
∵AC＝CB，
∴DH＝CB，
∴DH﹣CD＝CB﹣CD，即HG＝BD，
∴BD＝EF；
（2）BD＝EF，
理由如下：作FG⊥BC交BC的延长线于G，
∵∠CAD＝∠GDF，∠ACD＝∠DGF＝90°，
∴△ACD∽△DGF，
∴DGAC=GFCD=DFAD=2，即DG＝2AC，GF＝2CD，
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴BC＝DG，GF＝CE，
∴BD＝CG，
∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，
∴四边形FECG为矩形，
∴CG＝EF，
∴BD＝EF．


36．【解答】解：（1）当点D与点C重合时，CE∥AB，
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，
∴∠CAB＝∠ADE，
∴CE∥AB；
（2）当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，
理由如下：在AC上截取AF＝CD，连接EF，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠EAF＝∠EDC，
在△EAF和△EDC中，
AE=ED∠EAF=∠EDCAF=DC，
∴△EAF≌△EDC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，
∵∠AED＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECA＝45°，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴CE∥AB；
（3）如图②，∠EAC＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，AC=3CD，
∴FC＝（3-1）CD，
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴EC=22FC=6-22CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2AC=6CD，
∴CEAB=6-226=3-36，
如图③，∠EAC＝15°，
由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∴CD=3AC，AB=2AC，
延长AC至G，使AG＝CD，
∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC=3AC﹣AC，
在△EAG和△EDC中，
AG=DC∠EAG=∠EDCAE=DE，
∴△EAG≌△EDC（SAS），
∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，
∴∠CEG＝90°，
∴△CEG为等腰直角三角形，
∴EC=22CG=6-22AC，
∴CEAB=3-12，
综上所述，当∠EAC＝15°时，CEAB的值为3-36或3-12．


37．【解答】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，
在△ABP和△DCP中，
BP=CP∠APB=∠DPC∠B=∠C，
∴△ABP≌△DCP（AAS），
∴DC＝AB．
∵AB＝200米．
∴CD＝200米，
故答案为：200．
（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．
理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，
同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（AAS），
∴PF＝PE，BF＝DE，
又∵AC＝BC，AE＝DE，
∴FC＝EC，
又∵∠ACB＝90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴PC＝PE，PC⊥PE．

②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．
理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，
同①理，可知△FBP≌△EDP（AAS），
∴BF＝DE，PE＝PF=12EF，
∵DE＝AE，
∴BF＝AE，
∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，
∴ED∥AC，EA∥BC
∵FB∥AC，∠FBC＝90，
∴∠CBF＝∠CAE，
在△FBC和△EAC中，
BF=AE∠CBF=∠CAEBC=AC，
∴△FBC≌△EAC（SAS），
∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴CP⊥EP，CP＝EP=12EF．

③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，
当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，
∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°
同②可得△FBP≌△EDP（AAS），
同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP=22CE，
在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，
∴HE=12，AH=32，
又∵AC＝BC＝3，
∴CH＝3+32，
∴EC2＝CH2+HE2=10+33
∴PC2=12EC2=10+332．