数学2. 菱形的判定优秀第2课时学案

这是一份数学2. 菱形的判定优秀第2课时学案，共6页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

学习目标：1．理解并掌握菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．


2．学会用菱形的判定与性质相结合解决相关的计算与证明．


自主学习


一、知识链接


1．菱形有哪些特殊性质？








2．我们已学过菱形的哪些判定方法？内容是什么？








二、新知预习


1．类比矩形、菱形的判定定理1，试问：菱形的对角线互相垂直的逆命题是


．这个命题是假命题，如图所示．那么，添加一个什么条件能使其成为真命题呢？


(第1题图) (第2题图)


2．猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形．”动手操作：按教材P116“探索”中的过程进行．当对角线垂直的时候，会得到什么图形？


3．用尺规作图作菱形的方法：见教材P116“试一试”．


4．菱形的性质定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．


合作探究


一、探究过程


探究点1：菱形的判定定理2


问题1：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD互相垂直．求证：四边形ABCD是菱形．








【要点归纳】菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.


几何语言描述：若在□ABCD中，AC⊥BD,则 □ABCD是菱形.


例1已知：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F.求证：四边形AFCE是菱形．























探究点2：菱形的判定与性质的综合运用


例2如图，在£ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．


（1）求证：四边形AECF是菱形．


（2）若AB=6，BC=10，F为BC中点，求四边形AECF的面积．




















【针对训练】1.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连结EF．


（1）求证：四边形ABEF为菱形；


（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．








二、课堂小结











当堂检测


1.判断题，对的画“√”错的画“×”：


(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；（ ）


(2)对角线相等的四边形是菱形；（ ）


(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（ ）


(4)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；（ ）


(5)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形（ ）


2.如果四边形ABCD已经是平行四边形,则添加条件： ，平行四边形变为菱形.





3.有一边长为13cm的平行四边形的两条对角线的长分别为10 cm和24 cm，那么平行四边形的面积是_______________.


4.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺


时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．


(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；


(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；


(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．














参考答案


自主学习


一、知识链接


1.解：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直．


2.解：定义法和判定定理1. 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．


二、新知预习


解：1.对角线互相垂直的四边形是菱形


添加一个平行四边形的条件，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形.


2. 得到的图形是菱形.


合作探究


一、探究过程


探究点1：


问题1：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD．∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD．


∴AB＝AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．


【要点归纳】 垂直 平行四边形


【典例精析】


例1 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC.∴∠1＝∠2.又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，


∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴£AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．





探究点2：


例2 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，且AD∥BC，DE=BF，


∴AE=CF，且AE∥CF.∴四边形AECF为平行四边形.∵AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形.


（2）∵F为BC中点，∴BF=BC=AD.又∵DE=BF，∴DE=AD，AE=DE=BF.∵AE∥BF，


∴四边形ABFE是平行四边形.∴EF=AB=6.∴∠BAC=∠AOE=90°.在Rt△ABC中，AC=，∴S菱形AECF=AC×EF=×8×6=24.


【针对训练】1.（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∵AF=AB，∴AF=BE.又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形.∵AF=AB，∴四边形ABEF为菱形.


(2)解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF.BO=OF=3.在Rt△AOB中，AO=，


∴AE=2AO=8.


当堂检测


（1）× （2）× （3）√ （4）√ （5）×


对角线互相垂直或有一组邻边相等 3. 120 cm2


4. （1）证明：当∠AOF=90°时，∵∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF.


又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．


（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，在△AOF和△COE中,


∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF=EC．


（3）解：四边形BEDF可以是菱形．


理由：如图，连结BF，DE.由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，∴EF与BD互相平分．


∴四边形BEDF为平行四边形．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．


在Rt△ABC中，AC=，∴OA=1=AB.又∵AB⊥AC，


∴∠AOB=45°.∴∠AOF=45°.∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．




















菱形的判定定理2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的判定与性质的综合
运用判定及性质进行计算和证明