初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索精品第2课时学案及答案

这是一份初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索精品第2课时学案及答案，共8页。学案主要包含了知识链接，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

第2课时 二次函数与利润问题


学习目标：


1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）


2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）





自主学习


一、知识链接


1.用含a,b的代数式填空：


(1)已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利 元．


(2)疫情期间，某医疗用品店的老板以每支b元的单价购进一次性口罩1000支，加价5%卖出700支以后，每支比进价降低a元，将剩下300支全部卖出，则可获得利润 元．


(3)太谷饼是山西省传统美食，以其香、酥、绵、软而闻名全国，某网店以a元一包的价格购进500包太谷饼，加价20%卖出400包以后，剩余每包比进价降低b元后全部卖出，则可获得利润 元．


2.求出下列二次函数的最值.


(1) y=－x2+4x+5（3≤x≤5）； (2) y=x2－3x+4（0≤x≤4）.








合作探究


要点探究


探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题


填一填 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.


问题1


（1）若降价销售，每件商品每降价1元，则多卖出20件，若降价x元，则每件商品的利润为_______元，每星期的销量为__________件,销售利润y为______________元（用含x的代数式表示）.


（2）当x满足什么条件时，每星期销售该商品的利润最大？最大利润是多少元？








（3）若x只能为整数，且要让利于民，则当x满足什么条件时，每星期销售该商品的利润最大？最大利润是多少元？











问题2


（1）若涨价销售，每件商品每涨价1元，则少卖出10件，若涨价x元，则每件商品的利润为_______元，每星期的销量为__________件,销售利润为______________元（用含x的代数式表示）.


（2）当x满足什么条件时，每星期销售该商品的利润最大？最大利润是多少元？








【要点归纳】求解最大利润问题的一般步骤：


(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；


(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；


(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.


练一练


某玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？











【典例精析】


例1 某电商在购物平合上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．


(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；


(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？











【针对训练】某公司购进一批新产品进行销售，已知该产品的进价为8元/件，该公司对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每月的销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．


（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并求出y与x之间的函数关系式；


（2）当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润为240万元？


（3）如果该产品每月的进货成本不超过160万元，那么当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？














例2 某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示．


（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；


（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？


（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？























【针对训练】为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供16万元的无息创业贷款．小吴利用这笔贷款注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种畅销产品，并约定用该网店经营的利润逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4000元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．


（1）求该网店每月利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；


（2）小吴自网店开业起，最快在第几个月可还清16万元的无息贷款？














二、课堂小结


当堂检测


某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝


﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）


A．15元B．400元C．800元D．1250元


服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）


A．150元B．160元C．170元D．180元


将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）


A．600元B．625元C．650元D．675元


2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G资费套餐上线，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，则每天多售出4台.设该型号5G手机的零售价降低x（元）时，日销售量为y（台）．


（1）求y关于x的函数表达式；


（2）当零售价为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？











5.某商店经营一款玩具，进货单价是30元．在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件．根据市场调查，销售单价每涨1元，1个月就会少售出10件．


（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，且要让利于民，求这款玩具的销售单价．


（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．

















参考答案





自主学习


知识链接


1.(1) (0.8b-a) (2) （35b-300a） （3）（80a-100b）


2.解：(1)y=－x2+4x+5=-（x-2）2+9.∵当x＞2时,y随x的增大而减小，且3≤x≤5，∴当x=3时,y取得最大值，此时y=8；当x=5时，y取得最小值，此时y=0.


(2) y=x2－3x+4=（x-）2+.∵0≤x≤4，∴当x=时，y取得最小值，此时y=;当x=4时，y取得最大值，此时y=8.


合作探究


一、要点探究


探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题


填一填：18000 6000


问题1 解： （1）（20-x） (300+20x) (20-x)(300+20x)


（2）由（1）知y=（20-x） (300+20x)=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125.∵-20＜0，则当x=2.5时，y取最大值，此时最大利润为6125元.


（3）由（2）知y=-20(x-2.5)2+6125.∵x为整数，则当x=2或3时，y取得最大值，又∵要让利于民，∴x=3.此时y=6120.即此时最大利润为6120元.


问题2 解：（1）（20+x） (300-10x) (20+x)(300-10x)


（2）由（1）知y= （20+x） (300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250.∵-10＜0，∴当x=5时，y取最大值，此时最大利润为6250元.


练一练


解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.易知0≤x ≤18，则当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.


答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.


【典例精析】例1 解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000；


(2)由(1)知w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800，∵-2＜0，且75≤x≤90.∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元．


【针对训练】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），由题可得解得即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+60.


（2）设总利润为w元，由题意，得w＝y（x﹣8）＝（﹣2x+60）（x﹣8）＝﹣2x2+76x﹣480，


当w＝240时，﹣2x2+76x﹣480＝240，解得x1＝18，x2＝20.


答：当销售单价为18元或20元时，每月获得的利润为240万元.


（3）∵进货成本不超过160万元，每件的成本为8元，∴每月的进货量不超过 ( 万件)，


∴y＝﹣2x+60≤20，解得x≥20.由(2)知w＝﹣2x2+76x﹣480＝﹣2（x﹣19）2+242，∵﹣2＜0，且x≥20，∴x＝20时，w取得最大值，此时w为240万元.


答：当销售单价为20元时，每月获得的利润最大，最大利润为240万元．


【典例精析】例2 解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数），将点（60，140），（70，120）代入得


解得∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+260.由题可得解得50≤x≤85.故x的取值范围为50≤x≤85且x为整数.


（2）由题意得（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000，解得x1＝80，x2＝100.∵50≤x≤85，∴x=80.


答：销售单价为80元.


（3）设每天获得的利润为w元，由题意得w＝（x﹣50）（﹣2x+260）＝﹣2x2+360x﹣13 000＝﹣2（x﹣90）2+3200.∵﹣2＜0，且50≤x≤85，∴当x＝85时，w最大值＝3150.


答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元．


【针对训练】解：（1）设直线AB的表达式为y=kx+b，代入A（4，4），B（6，2）得解得∴直线AB的表达式为y=-x+8（4≤x≤6），同理可得直线BC的表达式为y=-x+5（6＜x≤8）.∵每月5名员工工资及其它费用为0.4×5+1=3（万元），∴当4≤x≤6时，w1=（x-4）（-x+8）-3=-x2+12x-35，当6＜x≤8时，w2=（x-4）（-x+5）-3=-x2+7x-23.


（2）当4≤x≤6时，w1=-x2+12x-35=-（x-6）2+1，∴当x=6时，w1取最大值是1；


当6＜x≤8时，w2=-x2+7x-23=-（x-7）2+，∴当x=7时，w2取最大值是1.5.


∵1＜1.5，∴每月销售利润最大为1.5万元.


＝≈10.7，即最快在第11个月可还清16万元的无息贷款．


当堂检测


D 2.A 3.B


4.解：（1）由题意得y＝8+×4，即y＝+8．∵每天可以售出8台，日销售利润为4000元，


∴每台利润为4000÷8＝500（元）．∴0≤x≤500．∴y关于x的函数表达式为y＝+8（0≤x≤500）.


设日销售利润为w元，根据题意得w＝（﹣x）（x+8）＝﹣x2+32x+4000＝﹣（x﹣200）2+7200（0≤x≤500）．∴当x＝200时，w最大为7200. 4000﹣200＝3800（元）．∴当零售价为3800元时，日销售利润最大，最大利润为7200元．


5.解：（1）设销售单价为x元，依题意得（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝6000，


解得x1＝50，x2＝60.∵要让利于民，∴销售单价应定为50元.


（2）设利润为w元，由（1）得w＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝﹣10（x﹣55）2+6250.


∵玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，


∴解得43≤x≤45.∵当x＜55时，w随x的增大而增大，∴当x＝45时，w取得最大值，此时w＝5250.


答：商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润是5250元．





销售单价x（元/件）
…
10
12
14
15
…
每月销售量y（万件）
…
40
36
32
30
…
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价－总成本.
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；


降件：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式法求最大值或利用函数简图和性质求出最大值.