华师大版九年级下册第27章 圆27.3 圆中的计算问题精品第1课时导学案

27.3  圆中的计算问题

第1课时 弧长和扇形面积

学习目标：

1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）

2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）

自主学习

一、知识链接

1.已知⊙O的半径为r,则⊙O的周长为___________,⊙O的面积为___________.

2.如图，在⊙O中，∠AOC所对的劣弧为__________,若∠AOD=100°，则所对的圆心角为_______°.直径AB所对的弧是________.

思考：在T2中，若⊙O的半径为r,那么直径AB所对的弧长是多少,∠AOD所对的弧长是多少？

二、新知预习

（预习课本P58-61）填空并完成练习：

计算半径为r，圆心角分别为、、、、所对的弧长和扇形面积.

（1）圆心角为180°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.

（2）圆心角为90°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.

（3）圆心角为45°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.

（4）圆心角为1°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.

（5）圆心角为n°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.

【自主归纳】若圆心角的度数为n,圆的半径为r,弧长为l,扇形面积为S，则l=_________;S=_________.

练习：

1.圆心角为60°，半径为1的弧长为（　　）

A． B．π C． D．

2.若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π

3.已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（　　）

A．9 B．3 C． D．

4.若一个扇形的圆心角是45°，面积是2π，则这个扇形的半径是（　　）

A．4 B． C．4π D．

合作探究

一、要点探究

探究点1：与弧长相关的计算

【典例精析】

例1  若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（　　）

A．50° B．60° C．100° D．120°

【针对训练】150°的圆心角所对的弧长是5π cm，则此弧所在圆的半径是（　　）

A．1.5cm B．3cm C．6cm D．12cm

【要点归纳】灵活运用n°的圆心角所对的弧长公式是解题的关键.

例2  如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（　　）

1.      B．   

C ．     D．

【针对训练】如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D＝135°，求的长.

【方法归纳】当所求弧所对的圆心角的度数未知时，需结合图形，灵活运用圆周角定理及其有关推论，计算出该圆心角的度数，再运用弧长公式进行求解.

探究点2：与扇形面积有关的计算

【典例精析】

例3   若一个扇形的半径是18cm，面积是54πcm2，则扇形的圆心角为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°

【要点归纳】圆心角为n°的扇形面积为.

想一想  扇形的弧长公式与面积公式有什么联系？

，∴

【典例精析】 

例4 已知扇形的弧长为2π，半径为4，则此扇形的面积为（　　）

A．4π    B．8π    C．6π   D．5π

【针对训练】 扇形的弧长为10π cm，面积为120π cm2，则扇形的半径是（　　）

A．12 cm B．24 cm C．28 cm D．30 cm

例5 如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB＝45°，则扇形AOB的面积为（　　）

A．5π B．12.5π C．20π D．25π

例6 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.

要点归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.

【针对训练】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.

二、课堂小结

当堂检测

1.半径为6 cm的圆上有一段长度为2.5π cm的弧，则此弧所对的圆心角为（　　）

A．45° B．75° C．90° D．150°

2.已知扇形的面积为30π cm2，它的半径为4 cm，则扇形的弧长为（　　）

A．19πcm    B．15πcm   C．20πcm   D．25πcm

3.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π

4.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OC＝2，则图中阴影部分的面积为___________.

5.如图所示，AB是⊙O的直径，其半径为1，扇形AOC的面积为．

（1）求∠AOC的度数；

（2）求的长度．

6.如图，有一直径是20厘米的圆型纸片，现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC．

（1）求剪出的扇形ABC的周长．

（2）求被剪掉的阴影部分的面积．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.2πr   2.πr2

2.   260   半圆

二、新知预习

（1）   ×2πr=πr    ×πr2=πr2

(2)    ×2πr=πr    ×πr2=πr2

(3)    ×2πr=πr    ×πr2=πr2

(4)    ×2πr=πr    ×πr2

(5)    ×2πr=     

【自主归纳】   

练习： 1.D  2.B  3.C  4.A

合作探究

一、要点探究

探究点1：与弧长相关的计算

【典例精析】例1 A   【针对训练】C

例2  A

【针对训练】解：连结AO，OC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝135°，∴∠B＝45°.∴∠AOC＝90°.∴的长＝＝2π.

探究点2：与扇形面积有关的计算

【典例精析】例3  B

想一想  

【典例精析】例4  A   【针对训练】 B  例5  D 

例6  解：连结OA、OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交 于点C，连结AC.∵ OC＝0.6 m， DC＝0.3 m, ∴ OD＝OC -DC＝0.3 m，即 OD＝DC.又 AD ⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线.

∴AC＝AO＝OC.从而 ∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.有水部分的面积S＝S扇形OAB - SΔOAB=

【针对训练】 解：由题意可知，OE=CE-OC=0.9-0.6=0.3(cm)，∠BOE=60°，∠AOB=120°，所对的圆心角为240°. S弓形=S扇形+S△OAB=

当堂检测

1.B  2.B  3.B   4.π﹣2

5.解：（1）由扇形面积公式S＝得，∴n＝60，即∠AOC＝60°．

（2）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°. ∴的长度为l＝．

6.解：（1）连结BC. ∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，即BC＝20cm.∵AB＝AC，∴AB＝AC＝10cm.

∴的长＝∴扇形ABC的周长＝（20+5π）cm．

（2）S阴＝S圆 -S扇形ABC＝π•102﹣＝50π（cm2）．