2020-2021学年【新教材】人教版（2019）高中物理必修一专题：追及相遇问题

追及相遇问题

追及相遇问题-低速追高速

速度小者（加速或匀速）追速度大者（匀速或减速）：

注意：速度小者（加速或匀速）追速度大者（匀速或减速）：

①当两者速度相等时，有最大距离。

②两者位移之差等于初始时的距离时，后边的物体追上前边的物体。

A、B两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的v－t图像如图所示。在t＝0时刻，B在A的前面，两物体相距7 m，B物体做匀减速运动的加速度大小为2 m/s2。则A物体追上B物体所用时间是（　　）

A. 5 s    B. 6.25 s

C. 7 s    D. 8 s

解析：B车减速到零所需的时间

，

A车在5 s内的位移xA＝vAt＝4×5 m＝20 m

Δx＝7 m，xA＜xB＋Δx，所以B车在停止运动后被追上。

设A物体追上B物体所用时间为t0，则vAt0＝Δx＋xB

t0＝8 s，故选项D正确。

答案：D

甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11m处，乙车速度v乙＝60m/s，甲车速度v甲＝50m/s，此时乙车离终点尚有L2＝600 m，如图所示。若甲车加速运动，加速度a＝2 m/s2，乙车速度不变，不计车长。求：

（1）经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？

（2）到达终点时甲车能否超过乙车？

答案：（1）5 s　36 m　（2）不能

解析：（1）当甲、乙两车速度相等时，两车间距最大，即v甲＋at1＝v乙，得t1＝5 s

甲车位移x甲＝v甲t1＋at＝275 m

乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5 m＝300 m

此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36 m

（2）甲车追上乙车时，位移关系x甲′＝x乙′＋L1

甲车位移x甲′＝v甲t2＋at

乙车位移x乙′＝v乙t2

将x甲′、x乙′代入位移关系，得

v甲t2＋at＝v乙t2＋L1

代入数值并整理得t－10t2－11＝0，解得t2＝－1 s（舍去）或t2＝11 s

此时乙车位移x乙′＝v乙t2＝660 m

因x乙′>L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车．

1. 解“追及相遇”问题的思路

（1）根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图。

（2）根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程。注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。

（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程。

（4）联立方程求解。

2. 分析“追及相遇”问题应注意的几点

（1）分析“追及相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：

“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、恰好追上。

“两个关系”是时间关系和位移关系。其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益。

（2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动。

（3）仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件。

（答题时间：30分钟）

1. 在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们的位移随时间t（s）变化的规律为：汽车为x＝10t－t2，自行车为x＝5t，（x的单位为m，t的单位是s）。则下列说法正确的是（　　）

A. 汽车作匀减速直线运动，自行车作匀速直线运动

B. 经过路标后的较短时间内自行车在前，汽车在后

C. 当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标12.5 m

D. 在t＝2.5 s时，自行车和汽车相距最远

2. A与B两个质点向同一方向运动，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动。开始计时时，A、B位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时（　　）

A. 两质点速度相等

B. A与B在这段时间内的平均速度相等

C. A的瞬时速度是B的2倍

D. A与B的位移相同

3.如图所示，A、B两物体相距x＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s的初速度向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历的时间是（　　）

A. 7 s        B. 8 s       C. 9 s        D. 10 s

4. 一列火车从车站出发做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2，此时恰好有一辆自行车（可视为质点）从火车头旁边驶过，自行车速度v0＝8 m/s，火车长l＝336 m。

（1）火车追上自行车以前落后于自行车的最大距离是多少？

（2）火车用多少时间可追上自行车？

（3）再过多长时间可超过自行车？

1.【答案】AD

【解析】由汽车x＝10t－t2与x＝vt＋at2对比得到汽车的初速度为10 m/s，加速度为－2 m/s2，汽车做匀减速运动。自行车的位移x＝5t，则知自行车做匀速运动，速度为5 m/s.A正确；

在t＝0时刻，汽车的速度较大，则经过路标后的较短时间内自行车在后，汽车在前。故B错误。

当两者再次同时经过同一位置时位移相等，则有：x＝10t－t2＝5t，解得：t＝5 s，则x＝25 m，即它们距路标25 m。故C错误

当两车的速度相等时，相距最远，则有v0－at＝v，解得：t＝＝s＝2.5 s，故D正确。

2. 【答案】BCD

【解析】设A的加速度为a，B的速度为v，经过时间t，A、B再次位于同一位置，由题意可得at2＝vt，t＝，故此时A的速度v′＝at＝2v，所以A错误、C正确；由题意知A、B在t时间内位移相同，根据平均速度的定义式＝，可知A与B在这段时间内的平均速度相等，所以B正确，D正确。

3. 【答案】B

【解析】设物体B减速至静止的时间为t，则：－vB＝at解得：t＝s＝5 s。

物体B向前运动的位移为：sB＝vBt＝×10×5m＝25 m

又因A物体5s内前进：sA＝vAt＝4×5m＝20 m      显然sB＋7m＞sA。

所以A追上B前，物体B早已经静止，设A追上B经历的时间为t′，则：

t′＝s＝8 s，故B正确。

4.【答案】（1）64m（2）32 s（3）24 s

【解析】（1）当火车速度等于v0时，二车相距最远：v0＝at1

得：t1＝＝s＝16  s

最大距离xm＝v0t1－at＝8×16－×0.5×162＝64m

（2）设火车追上自行车的时间是t2，追上时位移相等，则：v0t2＝at

代入数据解得：t2＝＝s＝32s

（3）追上时火车的速度：v＝at2＝0.5×32m/s＝16m/s

设再过t3时间超过自行车，则

vt3＋at－v0t3＝l

代入数据解得t3＝24s

追及相遇问题-高速追低速

速度大者（减速或匀速）追速度小者（匀速或加速）：

注意：速度大者（减速或匀速）追速度小者（匀速或加速）：

①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有最小距离。

②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时避免碰撞的临界条件。

③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个极大值。

甲、乙两辆汽车沿平直公路同向匀速行驶，甲车在乙车前面，它们之间相距s0＝40 m，速度均为v0＝10 m/s.某时刻，甲车刹车作匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2.从此时刻起，求：

（1）当甲车静止时，甲、乙两辆汽车之间的距离为多大？

（2）经多长时间两车相遇？

【答案】（1）30 m　（2）5 s

【解析】（1）由v＝v0＋at，甲车停止运动的时间t1＝2s

时间t1内，甲车的位移x甲＝＝10 m

乙车的位移x乙＝v0t1＝20 m　　　　　　

两车相距Δx＝（10＋40－20）m＝30 m　　

故当甲车静止时，甲、乙两辆汽车之间的距离为30 m。

（2）甲车停止后还需时间t2＝＝3 s。  t＝t1＋t2＝5 s。

故经过5 s两车相遇。

A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s，因大雾能见度很低，B车在距A车x0＝75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停下来。

（1）B车刹车时A仍按原速率行驶，两车是否会相撞？

（2）若B车在刹车的同时发出信号，A车司机经过Δt＝4 s收到信号后加速前进，则A车的加速度至少多大才能避免相撞？

【解析】（1）B车刹车的加速度大小为：aB＝＝2.5 m/s2；

两车速度相同时：t0＝＝8 s；

在这段时间内两车的位移分别为：＝vAt0＝80 m

＝t0＝160 m

因为＞＋，则两车会相撞。

（2）设A车司机收到信号后以加速度加速前进，两车恰相遇不相撞应满足速度关系：

vA＝vB即：30－2.5t＝10＋（t－4）

位移关系＝＋即：30t－×2.5t2＝75＋10×4＋10（t－4）＋（t－4）2

解得≈0.83 m/s2

高速追低速不一定能追上：

设x0为开始时，两物体间的距离，开始追时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：

①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；

②若Δx<x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0－Δx；

③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻，两物体第二次相遇（＝）

（答题时间：30分钟）

1. 在平直道路上，甲汽车以速度v匀速行驶．当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时，立即以大小为a1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动。则　（　　）

A. 甲、乙两车之间的距离一定不断减小

B. 甲、乙两车之间的距离一定不断增大

C. 若v＞，则两车一定不会相撞

D. 若v＜，则两车一定不会相撞

2. 一辆汽车正在以v＝20m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方x0＝33 m处有一只狗，如图甲所示，若从司机看见狗开始计时（t＝0），司机采取了一系列动作。整个过程中汽车的运动规律如图乙所示，g取10 m/s2。则下列判断正确的是（　　）

A. 汽车先做匀速运动再做反向匀减速运动

B. 汽车减速运动的加速度大小为5 m/s2

C. 若狗正以v′＝4m/s的速度与汽车同向奔跑，则不能摆脱被撞的噩运

D. 汽车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离为48.4 m

3. 甲、乙两车同时从同一地点出发，甲以8 m/s的初速度、1 m/s2的加速度做匀减速直线运动，乙以2 m/s的初速度、0.5 m/s2的加速度和甲车同向做匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距的最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

4. A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？

1.【答案】D

【解析】两车在速度相等前，距离越来越小，若不相撞，速度相等后，距离越来越大，A、B错误；当两车速度相等时，有v－a1t＝a2t，解得：t＝，两车恰好不相撞时有：vt－a1t2＝d＋a2t2，解得v＝，

即v＜，两车一定不会相撞．故C错误，D正确．

2.【答案】BC

【解析】汽车先做匀速运动，再做同方向的匀减速运动，A错误；汽车做匀减速运动的加速度为a＝－m/s2＝－5 m/s2，B正确；当汽车由v＝20m/s减速到v1＝4 m/s时，所需时间为t＝＝s＝3.2s，司机的反应时间为t1，从司机看到狗到汽车速度减为v1＝4  m/s时间内，汽车所通过的位移为x1＝vt1＋＝（20×0.5＋）m＝48.4m，而狗通过的位移为x2＝v′（t1＋t）＝4×（0.5＋3.2）m＝14.8  m，x1＞x2＋x0＝47.8m，所以狗将被撞，C正确；汽车从司机看见狗至停止运动的时间段内前进的距离为x3＝，D错误。

3.【答案】12 m　8 s

【解析】当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动的时间为t1，速度为v1，则

v1＝v甲－a甲t1①

v1＝v乙＋a乙t1②

两式联立解得t1＝4s。

此时两车相距：Δx＝x1－x2＝（v甲t1－a甲t）－（v乙t1＋a乙t）＝12m。

当乙车追上甲车时，两车位移均为x，运动时间为t，则

v甲t－a甲t2＝v乙t＋a乙t2

解得t＝0，或t＝8 s，t＝0表示出发时刻，不合题意舍去。

4.【答案】6 s

【解析】设A车的速度为vA，B车加速行驶的时间为t，两车在t0时相遇，则有＝vAt0①

＝vBt＋at2＋（vB＋at）（t0－t）②

式中，t0＝12s，、分别为A、B两车相遇前行驶的路程。

依题意有＝＋③

式中x0＝84m。

由①②③式得t1＝6 s，t2＝18 s

t2＝18s不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为6s。