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初中27.2.2 相似三角形的性质精品练习
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这是一份初中27.2.2 相似三角形的性质精品练习，共17页。试卷主要包含了 ∴eq \f＝eq \f， 解等内容，欢迎下载使用。
自主预习
1. 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
2.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1 cm变成4 cm，那么它的周长由原来的3 cm变成( )
A.6 cm B.12 cm C.24 cm D.48 cm
3.如图，D、E分别是△ABC中AB、AC边上的中点，则S△ADE∶S△ABC=__________.
3题图 4题图 5题图
4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE交DC于F点，EF∶FB=1∶3，则S△ADE∶S△ABC的值为( )
A.1∶3 B.1∶9 C.1∶ D.以上答案都不对
5.如图所示，D、E、F分别在△ABC的边上，DE∥BC，EF∥AB，如果AD∶DB=1∶2，则S△DEF∶S△ABC等于( )
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶9 D.2∶9
互动训练
知识点一：相似三角形对应线段的比等于相似比
1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为eq \f(3,4)，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(9,16) D.eq \f(16,9)
2. 若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是 ，
若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长
为 cm．
3．如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E和C、F.若BC＝2，则EF的长是 ．
3题图
4. 已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．
知识点二：相似三角形的周长的比等于相似比
5．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16
6.两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( )
A.75，115 B.60，100 C.85，125 D.45，85
7．若两个相似三角形的周长的比为4∶5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为 ．
8．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．
知识点三：相似三角形的面积比等于相似比的平方
9．已知△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为( )
A．1∶eq \r(3) B.eq \r(3)∶1 C．9∶1 D．1∶9
10．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1
10题图 11题图
11．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )
A. eq \f(BC,DF)＝eq \f(1,2) B. eq \f(∠A的度数,∠D的度数)＝eq \f(1,2)
C. eq \f(△ABC的面积,△DEF的面积)＝eq \f(1,2) D. eq \f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq \f(1,2)
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为( )
A．3 B．5 C．6 D．8
12题图 13题图
13．如图，在平行四边形ABCD中，点 E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
A．3∶4 B．9∶16 C．9∶1 D．3∶1
14.将一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )
A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
15．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
16.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为 .
17.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，
且S△ADE∶S四边形DBCE=1∶3，则AD∶AB=______________.
17题图
18．已知△ABC∽△A′B′C′，eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(1,2)，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：
(1)A′B′边上的中线C′D′的长；
(2)△A′B′C′的周长；
(3)△ABC的面积．
19.某块地的平面如图，∠A=90°，其比例尺为1∶2 000,根据图中标注的尺寸(单位:cm)，求这块地的实际周长和面积.
19题图
知识点四：相似三角形性质的综合应用
20.如图，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半.若AB=，则此三角形移动的距离AA′是( )
A.-1 B. C. 1 D.
20题图 21题图
21.如图,在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC. 设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3,若S1+S3=10，则S2=_______________.
22．在平行四边形ABCD中，M、N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝ ．
23．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.
(1)求证：△AEH∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长与面积．
23题图
课时达标
1. 如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．BC∶DE=1∶2 B．△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶2
C．∠A的度数∶∠D的度数=1∶2 D．△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2
2．两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，他们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为( )
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
3题图 4题图 5题图
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AE，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝( )
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC=3∶2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2∶5B．3∶5C．9∶25D．4∶25
6．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则eq \f(BD,AD)的值为( )
A．1 B．eq \f(\r(2),2) C．eq \r(2)－1 D．eq \r(2)＋1
6题图 7题图 9题图
7.如图所示,在正方形网格上有两个三角形:△A1B1C1与△A2B2C2,则△A1B1C1的面积与△A2B2C2的面积之比等于( )
A.4∶1 B.3∶1 C.5∶2 D.5∶3
8．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．
9．如图，在△ABC中，DE∥AC，AD:DB=2:1，F为AC上任意一点，△DEF的面积为4，则S△ABC= ．
10．一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为 .
11.如图，D是△ABC的边AB上一点，∠B=∠ACD，AC=1，△ACD与△BDC的面积之比为2∶1，则AD的长为___________.
10题图 11题图 12题图
12.如图，在△ABC中,AD∶DB=1∶2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为_____________.
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AB上一点，Q为BC上一点，且PQ⊥AB，若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的，AB=5 cm，PB=2 cm，求△ABC的面积.
13题图
14.如图,在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是BE的中点，AE与DF相交于点H，则S△EFH与S△ADH的比值是多少?
14题图
15. 等腰△ABC中，顶角为A，AD⊥BC于D点，AD=12 cm，BC=10 cm，等腰△A′B′C′中，A′D′⊥B′C′于D′点，且△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′=1∶3.
(1)求A′B′的长；(2)求A′D′的长；(3)求△A′B′C′的周长；(4)求△A′B′C′的面积.
16．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18 cm，EG＝4 cm，求CF的长．
16题图
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.
(1)求证：△AEF∽△CDF；
(2)求△AEF与△CDF的周长之比；
(3)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．
17题图
18．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
18题图
拓展探究
1．阅读下面的短文，并解释下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间，如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．例如：甲、乙是边长分别为a，b的不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a:b)，设S甲，S乙分别表示这两个正方体的表面积，则： ；
V甲，V乙分别表示这两个正方体的体积，则：．
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A. 两个球体 B. 两个圆锥体 C. 两个圆柱体 D. 两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比都等于 ；
②相似体的表面积之比等于 ；
③相似体的体积之比等于 ．
(3)假定在完全正常发育的情况下，不同时期的同一人的人体是相似的，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了八年级时，身高为1.65米，问他的体重为多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)?
2. 如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）
2题图
27.2.2相似三角形的性质答案
自主预习
1. A. 解析：由相似三角形对应线段的比等于相似比可得.
2. B. 解析：由相似三角形的周长比等于相似比可得.
3. 1∶4. 解析：两三角形的相似比为,故面积比为.
4. B. 解析：由△DEF∽△CBF求得DE与BC的比,再由△ADE∽△ABC求得面积的比.
5. D. 解析：由△ADE∽△ABC，得.DE到BC的距离与△ABC的高的比等于2∶3，所以. 答案：D
互动训练
1. A. 2. 8∶9； eq \f(27,4). 3. 5.
4. 解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，
C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高，
∴eq \f(AE,A′E′)＝eq \f(CD,C′D′). ∴eq \f(4.8,A′E′)＝eq \f(4,10). ∴A′E′＝12 cm.
5. C.
6. A. 解析：设较小的周长为x,则较大的为(x+40),由题意,得,解之,得x=75.
答案：A
7. 20，25.
8. 解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(25,20). ∴EF＝eq \f(5,4)BC＝eq \f(5,4)×5＝eq \f(25,4)(cm)．
同理eq \f(AC,DF)＝eq \f(20,25)， ∴AC＝eq \f(4,5)DF＝eq \f(4,5)×4＝eq \f(16,5)(cm)．
∴EF的长是eq \f(25,4) cm，AC的长是eq \f(16,5) cm.
9. D. 10. B. 11. B. 12. D. 13. B. 14. B. 15. 4∶9.
16. 72 cm2. 解析：两个相似三角形面积的比等于相似比的平方.答案：72 cm2
17. 1∶2. 解析：两三角形的面积比为,故两三角形的相似比为.答案：1∶2
18．(1)8 cm (2)40 cm (3)16 cm2
19. 解：根据平面图所示各线段的长度,算出四边形的周长为32 cm，根据比例尺转化为640 m，图上四边形的面积可分为△ABD和△BCD的面积的和，因为△ABD为直角三角形，所以BD=5.又CD=12，BC=13，所以△BCD为直角三角形，四边形的面积为×3×4+×12×5=36. 利用比例尺折合为14 400 m2.
20. A. 解析: ∵A′C′∥AC, ∴△A′DB∽△ACB.
∴. ∵AB=,S△A′DB=S△ACB, ∴
∴A′B=1.∴AA′=AB-A′B=-1. 答案：A
21. 4.解析：∵△ABC∽△HFG∽△DCE，∴S△ABC∶S△DCE=1∶4.
∴S1∶S3=1∶4. ∴S1=2. ∴S2=2S1=4. 答案：4
22. eq \f(1,9)或eq \f(4,9)．
23. 解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC. ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.
∴△AEH∽△ABC.
(2)设AD与EH相交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形．∴EF＝DM.
设正方形EFGH的边长为x.
∵△AEH∽△ABC，∴eq \f(EH,BC)＝eq \f(AM,AD). ∴eq \f(x,40)＝eq \f(30－x,30).∴x＝eq \f(120,7).
∴正方形EFGH的边长为eq \f(120,7) cm，面积为eq \f(14 400,49) cm2.
课时达标
1. D. 解析：A. BC与EF是对应边，则BC∶DE=1∶2不一定成立，故本项错误；
B. △ABC的面积∶△DEF的面积=1∶4，故本选项错误；
C. ∠A的度数∶∠D的度数=1∶1，故本选项错误；
D. △ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2正确，故本选项正确．故选D．
2. D. 3. A. 4. C.
5. C. 解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．
∵DE∶EC=3∶2，∴，∴．故选：C．
6. C.
7. C. 解析：设正方形网格上的每个小正方形的边长为a,
则=, =,
故∶==5∶2. 答案：C
8. 5∶4. 9. 36. 10. 1∶3
11. 解析：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC,
∵ △ACD与△BDC的面积之比为2∶1，∴△ACD与△ABC的面积之比为2∶3，即=, AC=1，∴AD=. 答案：
12. 8. 解析：∵S△ADE∶S△ABC=1∶9,∴S△ADE=1.∴四边形的面积为8. 答案：8
13. 解：∵∠C=∠QPB，∠B=∠B, ∴△BPQ∽△BCA.
又∵S△BPQ∶S△BCA=1∶5, ∴.
∴QB=. ∴QP=1. ∴S△BPQ=1. ∴S△BCA=5.
14. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC.
∵E是BC的中点,∴BE=BC=AD.
∵F是BE的中点,∴EF=BE=AD.
又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC,即AD∥FE,
∴ △EFH∽△ADH.
∴S△EFH∶S△ADH=EF2∶AD2=1∶16.
15. 解：(1)因为BD=CD(等腰三角形三线合一)，所以BD=5 cm.
所以AB=13 cm，AD=12 cm，BC=10 cm.
所以△ABC周长为36 cm,面积为60 cm.
因为△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶3,
所以周长比为1∶3,面积比为1∶9,所以A′B′=39 cm.
(2)A′D′=36 cm.
(3)△A′B′C′周长为108 cm.
(4)S△A′B′C′=540 cm2.
16. 解：∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7.
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(EG,CF).∴eq \f(4,7)＝eq \f(4,CF).
∴CF＝7 cm.
17. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB. ∴ △AEF∽△CDF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.
∵AE∶EB＝2∶3，设AE＝2k，则BE＝3k，DC＝5k.
又∵△AEF∽△CDF，∴eq \f(C△AEF,C△CDF)＝eq \f(AE,DC)＝eq \f(2,5).
∴△AEF与△CDF的周长之比为2∶5.
(3)∵△AEF∽△CDF，
∴eq \f(S△AEF,S△CDF)＝(eq \f(AE,DC))2. ∵eq \f(AE,DC)＝eq \f(2,5)，△CDF的面积为20 cm2，
∴△AEF的面积为eq \f(16,5) cm2.
18. 解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴eq \f(S△AEF,S△ABD)＝(eq \f(AE,AB))2. 又∵点E是AB的中点，∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(1,2).
∴eq \f(S△AEF,S△ABD)＝eq \f(1,4).∴S△AEF＝eq \f(1,4)S△ABD. ∴S△ABD－6＝eq \f(1,4)S△ABD.∴S△ABD＝8.
拓展探究
1．（１）Ａ
（２）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；
（３）60.75千克.
2. 解：（1）∵PE∥DQ，∴∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.
∴ △APE∽△ADQ.
（2）∵△APE∽△ADQ，△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，
得S△PEF==.
∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值.
（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.
自主预习
1. 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
2.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1 cm变成4 cm，那么它的周长由原来的3 cm变成( )
A.6 cm B.12 cm C.24 cm D.48 cm
3.如图，D、E分别是△ABC中AB、AC边上的中点，则S△ADE∶S△ABC=__________.
3题图 4题图 5题图
4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE交DC于F点，EF∶FB=1∶3，则S△ADE∶S△ABC的值为( )
A.1∶3 B.1∶9 C.1∶ D.以上答案都不对
5.如图所示，D、E、F分别在△ABC的边上，DE∥BC，EF∥AB，如果AD∶DB=1∶2，则S△DEF∶S△ABC等于( )
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶9 D.2∶9
互动训练
知识点一：相似三角形对应线段的比等于相似比
1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为eq \f(3,4)，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(9,16) D.eq \f(16,9)
2. 若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是 ，
若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长
为 cm．
3．如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E和C、F.若BC＝2，则EF的长是 ．
3题图
4. 已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．
知识点二：相似三角形的周长的比等于相似比
5．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16
6.两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( )
A.75，115 B.60，100 C.85，125 D.45，85
7．若两个相似三角形的周长的比为4∶5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为 ．
8．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．
知识点三：相似三角形的面积比等于相似比的平方
9．已知△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为( )
A．1∶eq \r(3) B.eq \r(3)∶1 C．9∶1 D．1∶9
10．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1
10题图 11题图
11．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )
A. eq \f(BC,DF)＝eq \f(1,2) B. eq \f(∠A的度数,∠D的度数)＝eq \f(1,2)
C. eq \f(△ABC的面积,△DEF的面积)＝eq \f(1,2) D. eq \f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq \f(1,2)
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为( )
A．3 B．5 C．6 D．8
12题图 13题图
13．如图，在平行四边形ABCD中，点 E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
A．3∶4 B．9∶16 C．9∶1 D．3∶1
14.将一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )
A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
15．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
16.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为 .
17.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，
且S△ADE∶S四边形DBCE=1∶3，则AD∶AB=______________.
17题图
18．已知△ABC∽△A′B′C′，eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(1,2)，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：
(1)A′B′边上的中线C′D′的长；
(2)△A′B′C′的周长；
(3)△ABC的面积．
19.某块地的平面如图，∠A=90°，其比例尺为1∶2 000,根据图中标注的尺寸(单位:cm)，求这块地的实际周长和面积.
19题图
知识点四：相似三角形性质的综合应用
20.如图，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半.若AB=，则此三角形移动的距离AA′是( )
A.-1 B. C. 1 D.
20题图 21题图
21.如图,在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC. 设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3,若S1+S3=10，则S2=_______________.
22．在平行四边形ABCD中，M、N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝ ．
23．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.
(1)求证：△AEH∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长与面积．
23题图
课时达标
1. 如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．BC∶DE=1∶2 B．△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶2
C．∠A的度数∶∠D的度数=1∶2 D．△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2
2．两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，他们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为( )
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
3题图 4题图 5题图
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AE，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝( )
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC=3∶2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2∶5B．3∶5C．9∶25D．4∶25
6．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则eq \f(BD,AD)的值为( )
A．1 B．eq \f(\r(2),2) C．eq \r(2)－1 D．eq \r(2)＋1
6题图 7题图 9题图
7.如图所示,在正方形网格上有两个三角形:△A1B1C1与△A2B2C2,则△A1B1C1的面积与△A2B2C2的面积之比等于( )
A.4∶1 B.3∶1 C.5∶2 D.5∶3
8．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．
9．如图，在△ABC中，DE∥AC，AD:DB=2:1，F为AC上任意一点，△DEF的面积为4，则S△ABC= ．
10．一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为 .
11.如图，D是△ABC的边AB上一点，∠B=∠ACD，AC=1，△ACD与△BDC的面积之比为2∶1，则AD的长为___________.
10题图 11题图 12题图
12.如图，在△ABC中,AD∶DB=1∶2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为_____________.
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AB上一点，Q为BC上一点，且PQ⊥AB，若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的，AB=5 cm，PB=2 cm，求△ABC的面积.
13题图
14.如图,在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是BE的中点，AE与DF相交于点H，则S△EFH与S△ADH的比值是多少?
14题图
15. 等腰△ABC中，顶角为A，AD⊥BC于D点，AD=12 cm，BC=10 cm，等腰△A′B′C′中，A′D′⊥B′C′于D′点，且△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′=1∶3.
(1)求A′B′的长；(2)求A′D′的长；(3)求△A′B′C′的周长；(4)求△A′B′C′的面积.
16．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18 cm，EG＝4 cm，求CF的长．
16题图
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.
(1)求证：△AEF∽△CDF；
(2)求△AEF与△CDF的周长之比；
(3)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．
17题图
18．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
18题图
拓展探究
1．阅读下面的短文，并解释下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间，如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．例如：甲、乙是边长分别为a，b的不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a:b)，设S甲，S乙分别表示这两个正方体的表面积，则： ；
V甲，V乙分别表示这两个正方体的体积，则：．
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A. 两个球体 B. 两个圆锥体 C. 两个圆柱体 D. 两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比都等于 ；
②相似体的表面积之比等于 ；
③相似体的体积之比等于 ．
(3)假定在完全正常发育的情况下，不同时期的同一人的人体是相似的，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了八年级时，身高为1.65米，问他的体重为多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)?
2. 如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）
2题图
27.2.2相似三角形的性质答案
自主预习
1. A. 解析：由相似三角形对应线段的比等于相似比可得.
2. B. 解析：由相似三角形的周长比等于相似比可得.
3. 1∶4. 解析：两三角形的相似比为,故面积比为.
4. B. 解析：由△DEF∽△CBF求得DE与BC的比,再由△ADE∽△ABC求得面积的比.
5. D. 解析：由△ADE∽△ABC，得.DE到BC的距离与△ABC的高的比等于2∶3，所以. 答案：D
互动训练
1. A. 2. 8∶9； eq \f(27,4). 3. 5.
4. 解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，
C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高，
∴eq \f(AE,A′E′)＝eq \f(CD,C′D′). ∴eq \f(4.8,A′E′)＝eq \f(4,10). ∴A′E′＝12 cm.
5. C.
6. A. 解析：设较小的周长为x,则较大的为(x+40),由题意,得,解之,得x=75.
答案：A
7. 20，25.
8. 解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(25,20). ∴EF＝eq \f(5,4)BC＝eq \f(5,4)×5＝eq \f(25,4)(cm)．
同理eq \f(AC,DF)＝eq \f(20,25)， ∴AC＝eq \f(4,5)DF＝eq \f(4,5)×4＝eq \f(16,5)(cm)．
∴EF的长是eq \f(25,4) cm，AC的长是eq \f(16,5) cm.
9. D. 10. B. 11. B. 12. D. 13. B. 14. B. 15. 4∶9.
16. 72 cm2. 解析：两个相似三角形面积的比等于相似比的平方.答案：72 cm2
17. 1∶2. 解析：两三角形的面积比为,故两三角形的相似比为.答案：1∶2
18．(1)8 cm (2)40 cm (3)16 cm2
19. 解：根据平面图所示各线段的长度,算出四边形的周长为32 cm，根据比例尺转化为640 m，图上四边形的面积可分为△ABD和△BCD的面积的和，因为△ABD为直角三角形，所以BD=5.又CD=12，BC=13，所以△BCD为直角三角形，四边形的面积为×3×4+×12×5=36. 利用比例尺折合为14 400 m2.
20. A. 解析: ∵A′C′∥AC, ∴△A′DB∽△ACB.
∴. ∵AB=,S△A′DB=S△ACB, ∴
∴A′B=1.∴AA′=AB-A′B=-1. 答案：A
21. 4.解析：∵△ABC∽△HFG∽△DCE，∴S△ABC∶S△DCE=1∶4.
∴S1∶S3=1∶4. ∴S1=2. ∴S2=2S1=4. 答案：4
22. eq \f(1,9)或eq \f(4,9)．
23. 解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC. ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.
∴△AEH∽△ABC.
(2)设AD与EH相交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形．∴EF＝DM.
设正方形EFGH的边长为x.
∵△AEH∽△ABC，∴eq \f(EH,BC)＝eq \f(AM,AD). ∴eq \f(x,40)＝eq \f(30－x,30).∴x＝eq \f(120,7).
∴正方形EFGH的边长为eq \f(120,7) cm，面积为eq \f(14 400,49) cm2.
课时达标
1. D. 解析：A. BC与EF是对应边，则BC∶DE=1∶2不一定成立，故本项错误；
B. △ABC的面积∶△DEF的面积=1∶4，故本选项错误；
C. ∠A的度数∶∠D的度数=1∶1，故本选项错误；
D. △ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2正确，故本选项正确．故选D．
2. D. 3. A. 4. C.
5. C. 解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．
∵DE∶EC=3∶2，∴，∴．故选：C．
6. C.
7. C. 解析：设正方形网格上的每个小正方形的边长为a,
则=, =,
故∶==5∶2. 答案：C
8. 5∶4. 9. 36. 10. 1∶3
11. 解析：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC,
∵ △ACD与△BDC的面积之比为2∶1，∴△ACD与△ABC的面积之比为2∶3，即=, AC=1，∴AD=. 答案：
12. 8. 解析：∵S△ADE∶S△ABC=1∶9,∴S△ADE=1.∴四边形的面积为8. 答案：8
13. 解：∵∠C=∠QPB，∠B=∠B, ∴△BPQ∽△BCA.
又∵S△BPQ∶S△BCA=1∶5, ∴.
∴QB=. ∴QP=1. ∴S△BPQ=1. ∴S△BCA=5.
14. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC.
∵E是BC的中点,∴BE=BC=AD.
∵F是BE的中点,∴EF=BE=AD.
又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC,即AD∥FE,
∴ △EFH∽△ADH.
∴S△EFH∶S△ADH=EF2∶AD2=1∶16.
15. 解：(1)因为BD=CD(等腰三角形三线合一)，所以BD=5 cm.
所以AB=13 cm，AD=12 cm，BC=10 cm.
所以△ABC周长为36 cm,面积为60 cm.
因为△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶3,
所以周长比为1∶3,面积比为1∶9,所以A′B′=39 cm.
(2)A′D′=36 cm.
(3)△A′B′C′周长为108 cm.
(4)S△A′B′C′=540 cm2.
16. 解：∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7.
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(EG,CF).∴eq \f(4,7)＝eq \f(4,CF).
∴CF＝7 cm.
17. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB. ∴ △AEF∽△CDF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.
∵AE∶EB＝2∶3，设AE＝2k，则BE＝3k，DC＝5k.
又∵△AEF∽△CDF，∴eq \f(C△AEF,C△CDF)＝eq \f(AE,DC)＝eq \f(2,5).
∴△AEF与△CDF的周长之比为2∶5.
(3)∵△AEF∽△CDF，
∴eq \f(S△AEF,S△CDF)＝(eq \f(AE,DC))2. ∵eq \f(AE,DC)＝eq \f(2,5)，△CDF的面积为20 cm2，
∴△AEF的面积为eq \f(16,5) cm2.
18. 解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴eq \f(S△AEF,S△ABD)＝(eq \f(AE,AB))2. 又∵点E是AB的中点，∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(1,2).
∴eq \f(S△AEF,S△ABD)＝eq \f(1,4).∴S△AEF＝eq \f(1,4)S△ABD. ∴S△ABD－6＝eq \f(1,4)S△ABD.∴S△ABD＝8.
拓展探究
1．（１）Ａ
（２）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；
（３）60.75千克.
2. 解：（1）∵PE∥DQ，∴∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.
∴ △APE∽△ADQ.
（2）∵△APE∽△ADQ，△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，
得S△PEF==.
∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值.
（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.
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