初中数学人教版九年级下册27.3 位似优秀第1课时巩固练习

27.3位似（第1课时）

自主预习

1.下列说法中，正确的个数是(    )

①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；

③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；

④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的,且位似比相等.

A.1             B.2              C.3             D.4

2.位似图形的中心可能在两个图形__________,也可能在两个图形__________,还可能在两个图形的__________.

3.指出下列各组位似图形的位似中点.

3题图

4.如图，△ACB与△DFE是位似图形，则.

4题图

互动训练

知识点一：位似图形的概念及性质

1.下列说法错误的是(    )

A. 相似图形不一定是位似图形

B. 位似图形一定是相似图形

C. 同一底版的两张照片是位似图形

D. 放幻灯时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形

2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是(    )

A.16                 B.32                C.48                D.64

3.按如下方法,将△ABC的三边缩小为原来的,如图,任取一点O,连结AO、BO、CO,并取它们的中点D、E、F，得△DEF. 则下列说法中正确的个数是(    )

①△ABC与△DEF是位似图形       ②△ABC与△DEF是相似图形

③△ABC与△DEF的周长比为2∶1    ④△ABC与△DEF的面积比为4∶1

A.1            B.2           C.3            D.4

3题图                       4题图

4.如图,五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3. 若位似中心P点到点A的距离为6，则P到A′的距离为________________.

5.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE和△ABC是位似图形，DE=1，BC=3，AB=6，求AD的长.

5题图

知识点二：利用位似图形进行作图

6.画出图中位似图形的位似中心.

6题图

7.利用位似的方法把下图缩小一倍，要求所作的图形在原图内部.

7题图

8.如图，已知O是四边形ABCD的边AB上的任意一点，且EH∥AD，HG∥DC，GF∥BC.试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否位似，并说明你的理由.

8题图

9. 如图，在△ABC中，BC=1，AC=2，∠C=90°.

9题图

(1)在方格纸①中，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比为2∶1；

(2)若将(1)中△A′B′C′称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O为对称中心，并且以直线l为对称轴的图案.

知识点三：位似图形的应用

10.一般室外放映的电影胶片上,每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映的银幕的规格是2 m×2 m,若影机的光源距胶片20 cm时,问银幕应拉在离镜头多远的地方,放映的图像刚好布满整个银幕?

11.如图，已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5，求矩形ABCD与矩形EFGH的面积比.

11题图

12.在直角坐标系中，有一个Rt△AOB，且两直角边长分别为OA=4，OB=3，如图.

(1)请直接写出A、B两点的坐标.

(2)将△AOB作下列运动，画出相应的图形，指出3个顶点的坐标发生的变化(不必写计算过程).

①关于原点对称；

②将△AOB以O点为位似中心，缩小1倍.

12题图

课时达标

1.如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（      ）

 A．两个三角形是位似图形              B．点A是两个三角形的位似中心

C．B与D、C与E是对应位似点        D．AE︰AD是相似比

   1题图                              2题图

2.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是(    )

A. cm            B . cm             C. cm           D.1 cm

3.在图中，①中的两个图形是位似图形,③中的两个图形也是位似图形,②中的两个图形不是位似图形.

(1)分别指出图①③各自的位似中心.

(2)在图①中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系?在图③中再试一试,还有类似的规律吗?

3题图

4.如图，已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，则AB∥A′B′，BC∥B′C′吗?说明理由.

4题图

5.如图中的图案是由A字图案(虚线图案)经过变换后得到的,试问该变换是位似变换吗?为什么?

5题图

6.如图,△ABC和△A′B′C′为位似图形,写出六个顶点的坐标,并指出△ABC和△A′B′C′的位似比.

6题图

7.已知图，作出一个新图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1.

7题图

8.如图，在水平桌面上的两个“E”，当点P1、P2、O在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.

(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式?

(2)若b1=3.2 cm，b2=2 cm，①号“E”的测试距离l1=8 m,要使测得的视力相同,则②号“E”的测试距离l2应为多少?

8题图

9.印刷一张矩形的张贴广告如图所示,它的印刷面积为32 dm2,上下空白各1 dm,两边空白各0.5 dm,设印刷部分从上到下的长为x dm,四周空白处的面积为S dm2.

(1)求S与x的关系式;

(2)当要求空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?

(3)内外两个图形是位似图形吗?如果是,请说明理由.

9题图

拓展探究

1.如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：

①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；

②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；

③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.

其中，能将△ABC变换成△PQR的是(    )

A.①②        B.①③          C.②③          D.①②③

1题图                              2题图

2.如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是__________. 

3.正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，圆心为A(3,0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8，如图所示，

3题图

解答下列问题：

(1)⊙A的半径为__________；

(2)请在图中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，观察你所画的图形知⊙D的圆心D点的坐标是__________；⊙D与x轴的位置关系是__________；⊙D与y轴的位置关系是__________；⊙D与⊙A的位置关系是__________.

(3)画出以点E(-8，0)为位似中心，将⊙D缩小为原来的的⊙F.

27.3位似（第1课时）答案

自主预习

1. C. 解析：位似图形是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,因而①对,②错.若两个位似图形全等,则其对应线段的比为1,因而位似中心到任意一对对应点的距离之比等于1,即位似中心在两个图形之间,因而③对.相似多边形中的对应三角形相似,因而△ABC∽△A′B′C′.又因为过这两个相似三角形对应点的直线都经过位似中心,所以△ABC与△A′B′C′也是位似的,且位似比为,即为原多边形的位似比.因而④对.

答案：C

2. 之间，同侧，内部. 解析：根据位似图形的意义.

3. (1) P点；(2) P点. 解析：由位似图形意义.

4. DP、EP、DE. 解析：对应点到位似中心的距离的比等于相似比.

互动训练

1. C. 解析：位似是相似的特例，选项A、B都正确；选项C不能确定两张照片的位置，它们不一定位似；选项D是正确的.答案：C

2. A. 解析：位似形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比. 相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.答案：A

3. D. 解析：此题缩小图形的根据是位似图形的性质.这样作出的图形与原图形位似,位似比为=,即△ABC∽△DEF,且相似比为.因而周长为2∶1,面积比为4∶1. 答案：D

4. 9. 解析：由位似中心到两图形对应点的比等于相似比可求得答案.

5.解：∵△ADE与△ABC是位似图形,∴△ADE∽△ABC.所以.

∵DE=1, BC=3, AB=6, ∴. ∴AD=2,即AD的长为2.

6.如图所示

7. 解：(1)在五边形ABCDE内部任取一点O.

(2)以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.

(3)分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′，使OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′=OE∶OE′=2.

(4)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.

得到所要画的多边形A′B′C′D′E′(如图).

7题图

8. 解：四边形EFGH∽四边形ABCD.

理由：∵EH∥AD，∴△OEH∽△OAD.

∴∠1=∠A，∠2=∠3，.

同理∠4=∠5，∠6=∠7，，

∠8=∠9，∠10=∠B，.

∴∠2+∠4=∠3+∠5，即∠EHG=∠ADC.

∴∠6十∠8=∠7+∠9，即∠HGF=∠DCB.

∴.

∴OE=k·OA，OF=k·OB.∴，即.

∴∠1=∠A，∠EHG=∠ADC，∠HGF=∠DCB，∠10=∠B，.

∴四边形EFGH∽四边形ABCD.

∵两个四边形各对应顶点的连线交于同一点O，不经过点O的其它三边平行,

∴四边形EFGH与四边形ABCD是位似形.

9. 如图，

            9题图

10. 解：位似比为k=,设出银幕应拉在离镜头x m的地方,则由位似图形的性质得,所以x= m,故银幕应拉在离镜头 m的地方.

11. 解：由位似可得,两个矩形相似,

∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=(OB∶OF)2.

∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=9∶25

12. 解：(1) A (4, 0), B(0,3).

(2) ① A1(-4,0), B1(0,-3), O(0,0). 如图:

②如图, A2(2,0), B2(0,), O(0,0).

课时达标

1. D.

2. D. 解析：易得△ABO∽△CDO, 所以. 所以CD=1(cm).答案：D

3. (1)①③的位似中心分别为O、P点.

(2)经过测量计算可推测得到对应点到位似中心的距离等于相似比.

4. 解：AB∥A′B′，BC∥B′C′.

理由如下:因为△ABC和△A′B′C′是位似图形， 所以△ABC∽△A′B′C′.

所以=. 所以△OA′B′∽△OAB.

所以∠OA′B′=∠OAB.所以A′B′∥AB.同理可得BC∥B′C′.

5. 解：不是位似变换,原因一是看形状不同,二是4∶8≠4∶4,所以对应边不成比例.所以不是位似变换.

6.解：六个顶点坐标为A(-1,4)，A′(-0.5,2)，B(6,2)，B′(3,1)，C(2,1)，C′(1,0.5)，

位似比为2∶1.

7. 解法一：(1)取关键点A、B、C、D,在图外取点P，作射线AP、BP、CP、DP；

(2)在它们上面分别取A′、B′、C′、D′,使得PA′=2PA，PB′=2PB，PC′=2PC，PD′=2PD.

(3)顺次连结A′、B′、C′、D′，四边形A′B′C′D′即为所求.如图(1),

(1)               (2)                     (3)

解法二：(1)如图(2),在原图上取关键点A、B、C、D，在图形外取一点P，作出射线PA、PB、PC、PD；

(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD;

(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.

解法三:(1)如图(3),在原图上取关键点A,B,C,D,在图内取一点P,作射线PA,PB,PC,PD;

(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使PA=AA′,PB=BB′,PC=CC′,PD=DD′;

(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.

8. 解：(1)∵△OD2P2∽△OD1P1, ∴b1∶b2=l1∶l2.

(2)由b1∶b2=l1∶l2, 得l2=5 m.

9. 解：(1)根据题意,得S=2×x×0.5+2××1+4×1×0.5=x++2, 即S=x++2.

(2)根据题意,得x++2=18,整理,得x2-16x+64=0.所以(x-8)2=0.

所以x=8.所以x+2=10.

所以这张广告纸的长为10(dm),宽为+2×0.5=5(dm).

(3)内外两矩形是位似图形,理由如下:因为内,外两矩形的长,宽的比都为2,

所以.

因为矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′.

因为AC和BD，A′C′和B′D′都相交于O点,

所以矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形.

拓展探究

1. D. 解析：本题考查图形变换的各种特征. 答案：D

2. (5，4).

3.  (1)5.  (2)如图，(-5，6)，相离，相切，外切.

(3)连接DE，取DE的中点F，以F为圆心，2.5为半径作圆.

解析：本题用到圆的性质和在坐标系中图形变换的坐标变化.

(1)连接AC，根据垂径定理，有勾股定理可以计算；

(2)⊙A的平移实质是圆心的平移，因此点D的坐标为(-5,6)，由点D的坐标看，⊙D与x轴相离，与y轴相切，与⊙A外切；

(3)圆都可以看作是位似图形，位似中心在两圆圆心的连线上.