初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例精品课后测评

这是一份初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例精品课后测评，共21页。试卷主要包含了如图，一圆柱形油桶,高1等内容，欢迎下载使用。


27.2.3相似三角形的应用举例
自主预习
1.在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( )
A.成反比例 B.成正比例 C.相等 D.不成比例
2.如图，DE⊥EB，AB⊥EB，∠DCE=∠ACB，DE=12 m，EC=15 m，BC=30 m，
则AB= m.

2题图 4题图
3.已知A、B两地相距300 km，在地图上量得两地相距15 cm，则图上距离与实际距离之比为___________.
4.某一时刻，测得旗杆的影长为8 m，李明测得小芳的影长为1 m，已知小芳的身高为1.5 m，则旗杆的高度是_______________m.
5.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB的高度为1.2米，若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么?

5题图
互动训练
知识点一：相似三角形判定及性质的实际应用
1．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为( )B
A． B． C． D．
2．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为( )A
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m

2题图 3题图 4题图
3．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )C
A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m
4.图所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压( )
A.100 cm B.60 cm C.50 cm D.10 cm
5.如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.

5题图 6题图
6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．
7.如图,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.

7题图
8.如图所示的一个零件，需计算出它的厚度x和内孔直径d的长(不能直接量出x和d的长），工人师傅用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量，若OA︰OC=OB︰OD=3，且量得CD=3cm，零件外径a=11cm，你能帮助工人师傅计算出内径d和厚度x吗?说明理由.

8题图



9.如图，一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.

9题图

知识点二：相似三角形判定及性质的综合应用
10.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2,则DE∶BC的值为( )
A. B. C. D.

10题图 11题图 12题图 13题图
11.如图所示，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点,下列条件：
(1)∠APB=∠EPC；(2)∠APE=90°；(3)P是BC的中点；(4)BP∶BC=2∶3.
其中能推出△ABP ∽△ECP的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
12.如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高H＝8，DE与BC间的距离为h，BC＝4，若△ADE与梯形DECB的面积相等，则h＝（　　）
A．4 B．或 C． D．
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对

14.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点0，AC平分∠BCD，且＝．
（1）求证：AB＝0B；
（2）若BC＝3，DC＝2，且AD︰AB＝︰3，求证：＝．

14题图




15．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN. 求证：
(1)△ABC为等腰三角形；
(2)AM·CP＝AN·CB.

15题图


课时达标
1.如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（　　）
A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm

1题图 2题图 3题图
2.如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是( )
A. m B. m C. m D. m
3.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（　　）
A．40m B．60m C．120m D．180m
4．如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（　　）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米
C．变长了3.5米 D．变短了3.5米

4题图 5题图 6题图
5．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　 　米．
6．如图，已知小华、小强的身高分别为1.8m，1.5m，路灯的高度为3.6m．小华、小强在同一盏路灯下的影长分别为2.3m，2m、则小华、小强之间的水平距离为　 　．
7.如图，BE⊥AC于B，CD⊥AC于C，AE∥BD，若BE=1.7米，AB=3米，BC=12米，求CD的长.

7题图



8.如图，射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央A，准星尖B和瞄准点C在一条直线上，这样才能命中目标. 已知某种冲锋枪基线AB长38.5 cm，如果射击距离AC=
100 m，当准星尖在缺口内偏差BB′为1 mm时，弹着偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)

8题图





9.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm,求梯子的长.

9题图

10.一条河的两岸有一段是平行的,在河的这岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这一岸离开岸边25米处看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树, 求河宽.

10题图

11.一位同学想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得小树高为1米，树影长0.9米，但当他马上测量树影时，因树靠近建筑物，影子不全落在地上，有一部分落在墙上，如图，他先测得地面部分的影子长2.7米，又测得墙上的影高CD为1.2米，试问树有多高?

11题图

12.如图所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?

12题图
13.如图，一人拿着一个刻有厘米分度的小尺，站在距离电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.

13题图




14.某同学想用镜子测量一棵古松树的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图，第一次他把镜子放在C点，人在F点正好看到树尖A；第二次他把镜子放在C′处，人在F′处正好看到树尖A，已知某同学的眼睛距地面1.70 m，量得CC′为12 m，CF长1.8 m，C′F′为3.84 m，求这棵古松树的高.

14题图

15．小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ＝4m，BP＝5m．
（1）小明距离路灯多远？
（2）求路灯高度．

15题图





16.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．

16题图

拓展探究
1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点P从点B向右D运动，问当点P离点B多远时，△PAB与△PCD是相似三角形？

1题图
2．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．

2题图

3．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”







27.2.3相似三角形的应用举例答案
自主预习
1. B. 解析：因太阳光线是平行的，所以同时同地光线，物高，影长组成的三角形都相似. 答案：B.
2. 24. 解析：∵△ABC∽△DEC，∴AB=24. 答案：24.
3. 1∶2 000 000. 解析：AB=300 km=30 000 000 cm,
所以图上距离∶实际距离=1∶2 000 000. 答案：1∶2 000 000.
4. 解：如图所示，∵△ABC∽△DEF,
∴. ∴DF=12 m. 答案：12.
5.解:狮子能将公鸡送到吊环上.
理由：过点Q作QH⊥PC于点H，即狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，
∵AB∥QH，∴△PAB∽△PQH，∴.
∵A为PQ的中点， ∴PQ=2PA,
∴QH=2AB=2.4＞2.
∴狮子能将公鸡送到吊环上
互动训练
1．B． 2．A． 3．C．
4. C. 解析：杠杆运动过程中构成的三角形相似.答案：C
5. 48米. 解析：因为△ABC∽△EDC,所以.答案：48米
6. 12.
7. 解：由题意得△AEM∽△CEN,
∴.而AM=0.4，EM=3.2，EN=26.8，
∴CN=3.35. ∴CD=4.95(米).
答:树高4.95米.

7题图 9题图
8. 解：∵OA︰OC=OB︰OD=3 , ∠AOB=∠COD.
∴△AOB∽△COD.
∴ 即，∴d=9.
∴
∴d=9cm, x=1cm.
9. 解：根据题意建立数学模型,如图,
AD=1.2米,AB=2米,AC=1.5米, DE∥BC.
∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC.
∴.∴
∴AE=0.9(米).
∴EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6(米).
10. A. 解析：因△ADE∽△ABC,故.答案：A
11. C. 解析：(1)中因为∠B=∠C，∠APB=∠EPC，所以△ABP∽△ECP；
(4)中因为BP∶BC=2∶3, 所以BP=BC,PC=BC.所以=2,
且∠B=∠C=90°. 所以△ABP∽△ECP.故选C. 答案：C.
12. D. 解析：∵△ADE与梯形DECB的面积相等，∴，
∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．
如图，过点A作AN⊥BC交DE于点M，
∵AN＝8，∴AM＝8﹣h，∴，∴h＝8﹣4．故选：D．

12题图 14题图
13. C. 解析：设运动时间为t秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，
故选：C．
14.证明：（1）∵AC平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA，
∵＝，∴△ABC∽△ODC，∴∠DOC＝∠BAC，
∵∠AOB＝∠DOC，∴∠BAO＝∠BOA，∴AB＝OB；
（2）∵△ABC∽△ODC，
∴， ∴AB＝OD，AC＝OC，∴AO＝OC，
设AD＝x，则AB＝OB＝3x，OD＝2x，
过A作AH⊥BD，设OH＝a，
由勾股定理得AB2﹣BH2＝AD2﹣DH2，
即（3x）2﹣（3x﹣a）2＝（x）2﹣（2x+a）2，
解得：a＝x，∴BH＝x，
∴AH＝，∴AO＝＝x，
∴＝＝，＝，∴＝．
15. 证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.
∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.
∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.
又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．
(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，
∴∠PBC＝∠AMN.
由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.
∴＝，即AM·CP＝AN·CB.

15题图
课时达标
1. D. 解析：∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴＝，而BC＝BE，
∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．故选：D．
2. C. 解析：设P到AB的距离为x米,则有.x=1.2(m). 故选：C.
3. C. 解析：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，
∴＝，即＝，∴PQ＝120（m）．故选：C．
4. D. 解析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴ADOP=MAMO，BCOP=BNON，则xx+20=1.68，∴x＝5；
yy+20-14=1.68，∴y＝1.5，∴x﹣y＝3.5，
故变短了3.5米．故选：D．

4题图 6题图
5. 7.解析：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴ACBD=AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC＝7（米），故答案为：7．
6. 5.1m. 解析：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴CDAB=DEBE，FNFB=MNAB，
由题意得：DE＝2.3，CD＝1.8，FN＝2，MN＝1.5，AB＝3.6，
即1.83.6=2.3BE，2FB=1.53.6，
解得：BE＝4.6m，BF=245，
∴BD＝BE﹣DE＝2.3，BN＝BF﹣FN=145=2.8，
∴DN＝5.1（m），
答：小华、小强之间的水平距离为5.1m，故答案为：5.1m．
7. 解：∵BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,
∴∠ABE=∠BCD=90°.∵AE∥BD,∴∠A=∠CBD.
∴△ABE∽△BCD.∴,
即.∴CD=6.8(米).
∴CD的长为6.8米.
8. 解：∵BB′∥CC′,∴△ABB′∽△ACC′.
∴.∴CC′=(m).
即弹着偏差 m.
9. 解：设梯子长为x cm, ∵△ADE∽△ABF,
∴. 则有, 解得x=440.
经检验x=440为所列方程的根,所以梯长为440 cm.
10. 解：根据题意，画出图形如图，其中AB=50米,CD=5×4=20米,GE⊥CD,GF⊥AB,点G、E、F共线，GE=25米.
∵AB∥CD, ∴∠DCG=∠BAG，∠CDG=∠ABG.
∴△GCD∽△GAB.
又∵GE⊥CD，GF⊥AB,
∴(相似三角形对应高的比等于相似比).
∴GF==62.5(米).
∴河宽EF=GF-GE=62.5-25=37.5(米).

10题图 11题图
11. 解法一：如图,延长AD，BE相交于点C,则CE就是树影长的一部分,
,即.∴CE=1.08 (m).
∴BC=BE+EC=2.7+1.08=3.78 (m).
∴,即.
∴AB=4.2 (m).
解法二：过E作EF∥AD交AB于F.
,即. ∴BF=3 m.
AB=AF+BF=3+1.2=4.2 (m)
12. 解：如图所示，AD垂直于江边于D，BE垂直于江边于E，
则AD=m千米，BE=n千米，DE=l千米. 延长BE至F，使EF=BE.
连结AF交DE于C，则在C点建抽水站，到甲、乙两厂的供水管路AC+CB为最短.
设CD=x千米，因为Rt△ADC∽Rt△FEC,
所以, 即, 解得x=(米).

12题图
13. 解：设电线杆高x m,因为两三角形相似,
则有,
解得x=6,经检验x=6为原分式方程的根,
所以电线杆高6 m.
14. 解：设BC=y m,AB=x m,作CM⊥BF,C′M′⊥BF′.
由物理学中光的反射定理,得∠ACM=∠ECM,∠AC′M′=∠E′C′M′,
所以∠ACB=∠ECF,∠AC′B=∠E′C′F′.
因为 ∠ABC=∠EFC=90°,∠ABC=∠E′F′C′=90°,
所以△ABC∽△EFC,△ABC′∽△E′F′C′.所以.
所以,① .②
解①②组成的方程组,得
所以这棵古松树的高为10米.
15.解：（1）设DB＝xm，
∵AB∥CD，∴∠QBA＝∠QDC，∠QAB＝∠QCD，
∴△QAB∽△QCD，ABCD=BQQD，
同理可得：ABEF=BPPF，
∵CD＝EF，∴BQDQ=BPPF，
∴4x+4=55+27-x， ∴x＝12，
即小明距离路灯12m．
（2）由ABCD=BQQD得1.5DC=412+4，∴CD＝6
即路灯高6m．
16. （1）证明：∵∠EFG＝∠DFG，
∴∠EFB＝∠DFC，又∵∠B＝∠C，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵△BEF∽△CDF，∴＝，
设FC＝xcm，则＝，解得：x＝160，
答：CF的长为160cm．
拓展探究
1.解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，
∴当或＝时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB＝3，CD＝8，BD＝10，
∴＝或＝，∴BP＝6或4或，
即PB＝6或4或，时，△PAB与△PCD是相似三角形．
2．答案：当BP＝2时，S△ABP∶S△PCD＝1∶9；
当时，S△ABP∶S△DCP＝1∶4；
当BP＝9时，S△ABP：S△PCD＝9∶4．
3. 解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，
∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC，∴x5=12-x12，x=6017，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED＝x，S△ABC=12AC•BC=12AB•CP，
12×5＝13CP，CP=6013，
同理得：△CDG∽△CAB，
∴DGAB=CQCP，∴x13=6013-x6013，x=780229＜6017，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是6017（步）．