2021年中考数学专题复习 勾股定理与四边形 学案（无答案）

１、勾股定理

勾股定理

知识点回顾

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为c ，那么a2  b2  c2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２、勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：

方法一： 4S  S正方形EFGH  S正方形ABCD ， 4  1 ab  (b  a)2  c2 ，化简可证．

2

D C

a

b

A c B a

a

A a D

b

b

E

a a

b B b C

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S  4  1 ab  c2  2ab  c2     

2

大正方形面积为 S  (a  b)2  a2  2ab  b2  所以a2  b2  c2

方法三： S梯形

 1 (a  b)  (a  b) ， S

2 梯形

 2SADE

  SABE

 2  1 ab  1 c2 ，化简得证

2 2

３、勾股定理的适用范围：只适用于直角三角形

４、勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC 中， C  90 ，则c 

， b 

， a 

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５、勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a ， b ， c 满足 a2  b2  c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2  b2 与较长边的平方c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若a2  b2  c2 ，时，以a ，b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若a2  b2  c2 ，时，以a ，b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；

当△ABC 是锐角三角形时，

当△ABC 是钝角三角形时，

②定理中a ， b ， c 及 a2  b2  c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ， b ， c 满足a2  c2  b2 ， 那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边

６、勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2  b2  c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称a ， b ， c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等

③用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n2  1,2n,n2  1（ n  2, n 为正整数）； 2n 1,2n2   2n,2n2   2n 1 （ n 为正整数）

m2  n2 ,2mn,m2  n2 （ m  n, m ， n 为正整数） ７、勾股定理的应用

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８、勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９、勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．

常见图形：

C C

C C

A B A

D B B

D A B D A

知识运用

例１.在ABC 中， C  90 ．

题型一：直接考查勾股定理

⑴已知 AC  6 ， BC  8 ．求 AB 的长 ⑵已知 AB 17 ， AC 15 ，求 BC 的长

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC 中， ACB  90 ， AB  5 cm ， BC  3 cm ， CD  AB 于 D ， CD ＝        

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3: 4 ，斜边长为15 ，则这个三角形的面积为       

⑶已知直角三角形的周长为30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为         

A

C

B C A B

例３.如图ABC 中， C  90 ， 1  2 ， CD 1.5， BD  2.5 ，求 AC 的长

例 4.如图 RtABC ， C  90 AC  3, BC  4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

A B

题型三：实际问题中应用勾股定理

例 5 如图，水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度 AC

. 

例 6.如图有两棵树，一棵高8 cm ，另一棵高2 cm ，两树相距8 cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞 了 m

A

E D

B C

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例 7.已知三角形的三边长为 a ， b ， c ，判定ABC 是否为 Rt

① a 1.5 ， b  2 ， c  2.5         ② a  5 ， b 1， c  2

4 3

例 8.三边长为 a ， b ， c 满足a  b 10 ， ab 18 ， c  8 的三角形是什么形状？

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例 9.已知ABC 中， AB 13 cm ， BC 10 cm ， BC 边上的中线 AD 12 cm ，求证： AB  AC

A

B D C

知识一：多边形内角和与外角和

1. n 边形内角和为（n-2）180°,外角和为 360°。

四边形

知识点回顾

2. 多边形中连接互不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，n 边形的对角线条数是 n(n  3) 。

2

3. 镶嵌：在某一点处互不重叠拼在一起的几个多边形的内角和为 360°时，才是镶嵌；任意一个三角形和四边形、正六边形可镶嵌平面。

知识二：特殊四边形的性质和判定

1. 特殊四边形的性质

注：矩形、菱形、正方形具有平行四边形所有性质；菱形具有矩形所有性质；正方形具有矩形、菱形所有性质。

2. 特殊四边形的判定

（1）  平行四边形的判定

Ⅰ、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 Ⅱ、两组对边分别相等的四边形是平行四边形Ⅲ、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 Ⅳ、对角线互相平分的四边形是平行四边形

（2）  矩形的判定方法

  Ⅰ、有一个角是直角的平行四边形；Ⅱ、有三个角是直角的四边形；

  Ⅲ、对角线相等的平行四边形； Ⅳ、对角线相等且互相平分的四边形． 拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。

（3）  菱形的判定

Ⅰ、定义；Ⅱ、四条边都相等的四边形；

Ⅲ、对角线互相垂直平分的四边形；Ⅳ、对角线平分一组对角的平行四边形．

拓展：若 a、b 分别表示两条对角线的长，则

（4）  正方形的判定

Ⅰ、先证它是矩形，再证一组邻边相等；Ⅱ、先证它是菱形，再证一个角是直角． 拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大．

（5）  梯形的性质和判定

①梯形的性质

②等腰梯形、直角梯形的判定

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）有一个角是直角的梯形是直角梯形

③梯形常作辅助线

辅助线是解决梯形问题的一把钥匙，起到转化思想：把梯形转化成特殊的四边形与三角形；把互相平行的两底转化成一条线段。具体如下图：

平移一腰

作较长底边的高 延长两腰 作腰的平行线

连接上底一顶点 与腰的中点并延长与下底延长线相交

1. 下列命题中正确的是（ ）

知识点应用

A.对角线互相平分的四边形是菱形   B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

2. 某花木场有一块等腰梯形 ABCD 的空地，其各边的中点分别是 E、F、G、H 测量得对角线 AC=10 米，现想用篱笆围成四边形 EFGH 场地，则需篱笆总长度是（ ）A. 40 米 B. 30 米 C.20 米 D.10 米

15

3. 在梯形 ABCD 中，AD∥BC,对角线 AC⊥BD,且 AC=10,BD=6,则该梯形的面积是（ ）A. 30  B.  15  C.

2

  D.60

4. 在平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形、直角梯形中，不是轴对称图形的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

5.菱形的周长为高的 8 倍，则它的一组邻角是（ ）A.30°和 150° B.45°和 135° C.60°和 120° D.80°和 100°

12

6.在矩形 ABCD 中，AB=3,BC=4,则点 A 到对角线 BD 的距离为（ ）A.

5

5

    B.2 C.

2

13

     D.

5

7、如图 8-54,已知在△ABC 中,AB=AC=a,M 为底边 BC 上任意一点,过点 M 分别作 AB、AC 的平行线交 AC 于 P,交 AB 于 Q. (1)求四边形 AQMP 的周长；(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M 位于 BC 的什么位置时,四边形 AQMP 为菱形?说明你的理由.

8．如图 1，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2 ，AD=2，则四边形 ABCD 的面积是（ ）

A．4

B．4

C．4 D．6

9、如图 2，四边形ABCD 是平行四边形，且∠EAD=∠BAF。

（1）  求证：△CEF 是等腰三角形；

（2）  △CEF 的哪两边之和恰好等于 ABCD的周长？证明你的结论。