人教A版 (2019)必修第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质导学案及答案

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这是一份人教A版 (2019)必修第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质导学案及答案，共16页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

空间中的垂直关系
直线与直线垂直

重点
1. 会判断空间两直线的位置关系。
2. 会求两异面直线所成的角。
3. 理解异面直线中的垂直关系并会证明。
难点
1. 求异面直线所称的角。
2. 理解异面直线中的垂直关系并会证明。
考试要求
考试
Ø 题型选择题、填空题
Ø 难度中等

核心知识点一：异面直线所成的角
1. 异面直线所成的角
（1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
（2）范围：。
2. 异面直线垂直的定义
当两条异面直线所成角为时，我们就说这两条异面直线垂直。直线a与直线b垂直记作。

类型一：空间两直线位置关系的判定
例题1 （1）已知a，b，c为三条不重合的直线，有以下结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c。其中正确的个数为（　　）
A. 0　　　　　　　　　　B. 1
C. 2 D. 3
（2）在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________。（填序号）

答案：（1）B （2）②④
解析：（1）法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立。
法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确。
（2）图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H ∉平面GMN，因此GH与MN异面。所以在图②④中，GH与MN异面。
总结提升：空间两直线位置关系的判定方法
1. 异面直线：直接法或反证法。
2. 平行关系：可利用中位线定理、平行四边形的性质、平行公理等。

类型二：异面直线所成的角　
例题2 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1F1B1A1. 连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角。
连接DF，由题意，得，，。
在△DFB1中，由余弦定理，得
DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，
即5＝4＋5－2×2××cos∠DB1F，
∴cos∠DB1F＝。

总结提升：求异面直线所成角常用的平移方法有：
（1）利用图中已有的平行线平移；
（2）利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；
（3）补形平移。

类型三：异面直线垂直的判定
例题3 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（　　）
A. l1⊥l4
B. l1∥l4
C. l1与l4既不垂直也不平行
D. l1与l4的位置关系不确定
答案：D
解析：构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D。

总结提升：直线与直线的垂直关系中要特别留意异面垂直的情况，异面垂直主要考查空间想象能力，可以借助正方体、长方体等空间几何体加以衬托。

1. 直线与直线的位置关系的判定（特别是异面关系）可借助正方体、长方体等空间几何体加以衬托。
2. 平移法求异面直线所成角的步骤
平移
平移的方法一般有三种类型：（1）利用图中已有的平行线平移；（2）利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；（3）补形平移
证明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角
寻找
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角

（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定（　　）
A. 与a，b都相交
B. 只能与a，b中的一条相交
C. 至少与a，b中的一条相交
D. 与a，b都平行
2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 垂直
3. 一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（　　）

A. AB∥CD B. AB与CD相交
C. AB⊥CD D. AB与CD所成的角为60°
4. 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于（　）

A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
5. 已知直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.

二、填空题
6. 如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________。

三、解答题
7. 如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点。

（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角。

1. 答案：C　
解析：如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾。故选C。
2. 答案：A　
解析：由BC//AD，AD//A1D1知，BC//A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交。
3. 答案：D
解析：如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项A、B、C不正确。图②中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°。∴正确选项为D。

4. 答案：C
解析：如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角。因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C。

5. 答案：C
解析：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角。
因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AB1＝，AD1＝。在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，
所以B1D1＝＝，
所以cos∠B1AD1＝＝。

6. 答案：
解析：不妨设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如图所示，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，则BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角。在△OEC中，边长EC＝，OC＝，OE＝，由余弦定理可得cos∠OEC＝＝。即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为。

7. （1）证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾。故直线EF与BD是异面直线。
（2）解：取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角。又因为AC⊥BD，则FG⊥EG。在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°。

直线与平面垂直

重点
1. 了解直线与平面垂直的定义。
2. 理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直。
3. 理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题。
难点
1. 判断直线与平面垂直。
2. 理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题。
3. 提升直观想象、逻辑推理的数学素养。
考试要求
考试
Ø 题型选择题、填空题、解答题
Ø 难度中等

核心知识点一：直线与平面垂直
1. 直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直。
2. 直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

核心知识点二：直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角。
（2）线面角θ的范围：。

类型一：直线与平面垂直的判定
例题1 如图，在三棱锥SABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC。

（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC。
证明：（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC。在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD。又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，
所以SD⊥平面ABC。
（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC。由（1）知SD⊥BD。
又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC。
总结提升：证线面垂直的方法：
（1）线线垂直证明线面垂直：
①定义法（不常用，但由线面垂直可得出线线垂直）；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线（有时作辅助线）；结合平面图形的性质（如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等）及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直。
（2）平行转化法（利用推论）：
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
②α∥β，a⊥α⇒a⊥β。

类型二：直线与平面垂直的性质定理应用
例题2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC。

求证：MN∥AD1。
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D。
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1。
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC。
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1。

类型三：直线与平面所成的角
例题3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，

（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角。
证明：（1）∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝。
（2）连接A1C1交B1D1于O（见题图），
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O。
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°。
总结提升：求斜线与平面所成角的步骤：
（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算。
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角。
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算。

1. 线线垂直和线面垂直的相互转化：

2. 证明线面垂直的方法：
（1）线面垂直的定义。
（2）线面垂直的判定定理。
（3）如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　）
A. 平行 B. 相交　　　 C. 异面　　　 D. 垂直
2. 垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是（　　）
A. 垂直 B. 相交但不垂直 C. 平行 D. 不确定
3. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　）

A. 60° B. 45° C. 30° D. 120°

二、填空题
4. 如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________。

三、解答题
5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D。
6. 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB。求证：a∥l。

7. 在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝1，AA1＝，∠ABC＝60°。

（1）求证：AC⊥BD1；
（2）求四面体D1AB1C的体积。

1. 答案：A　
解析：若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾。所以直线l与m不可能平行。
2. 答案：A
解析：因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直。选A。
3. 答案：A　
解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，
所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°。故选A。
4. 答案：AB，BC，AC　；AB
解析：因为PC⊥平面ABC，
所以PC垂直于直线AB，BC，AC。
因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
所以AB⊥平面PAC，
又因为AP⊂平面PAC，
所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB。
5. 证明：如图，连接AC，

∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A⊂平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C⊂平面A1AC，
∴BD⊥A1C。
同理可证BC1⊥A1C。
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D。
6. 证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA。
同理l⊥EB。又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB。
因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB。
由线面垂直的性质定理，得a∥l。
7. （1）证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD。在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，则AC⊥BD1。
（2）解：VD1AB1C＝VABCDA1B1C1D1－VB1ABC－VD1ACD－VAA1B1D1－VCC1B1D1＝VABCDA1B1C1D1－4VB1ABC＝×－4×××＝。