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高中 / 数学 / 人教A版 (2019) / 必修 第二册 / 全册综合期中试卷讲评
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册全册综合精品导学案，共9页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分，共30分）
1. 已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 复数在复平面内，所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，若，则一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5. 已知，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
7. 给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上。
其中不正确命题的序号是________。
8. 如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______；
9. 若，则与同方向的单位向量____________。
10. 已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为__________。
三、解答题（第11-13题每题12分，第14题共14分，共50分）
11.（本小题12分）
如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为边的中点.
（1）求证：平面.
（2）在上找一点使得平面平面，并证明.
12. （本小题12分）
已知向量，，，。
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值。
13. （本小题12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，试确定的形状。
14. （本小题14分）
已知，。
（1）若，求的值；
（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数的表达式及的最小正周期。
1. B
【解析】
，，
，
的虚部为。
故选：B。
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题。
2. A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A。
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算。
3. B
【解析】
，
因为，，故所对应的点在第二象限。
故选B。
【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本求解能力，是基础题。
4. D
【解析】
因，所以，所以，
由正弦定理可知，
所以。 又，且，
所以或，
所以或，
则是等腰三角形或直角三角形，
故选：D。
【点睛】
本题主要考查正弦定理边角互化和三角形形状的判定，考查平面向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力。
5. C
【解析】
，
所以。
因为，所以，
所以，所以。
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力。
6. C
【解析】
∵D是BC的中点，
∴，即，
∴=（）=+=﹣6，
又=（）•（）=（）=（b2﹣16），
∴﹣6=（b2﹣16），解得b=2，
∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0，
∴a=4b﹣c=4，
由余弦定理得csA==。
故选C。
【点睛】本题主要考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问题经常会与数量积的几何意义投影结合到一起，外心在边上的射影点恰好是中点，利用这个性质很多问题都可以迎刃而解。
7. ②④⑤
【解析】
向量与是相反向量，它们的模长相等，即①正确;
零向量与任何向量平行，若向量与中恰有一个为零向量，则它们的方向不满足题意，即②错误;
对于相等向量，若它们有共同的起点，则它们终点也相同，即③正确;
两个有公共终点的向量，若它们的起点和终点不在一条直线上，则它们不共线，即④错误;
因为向量可以平移，所以共线向量与中，不一定在同一条直线上，即⑤错误。
故答案为：②④⑤。
【点睛】本题考查了相等向量、相反向量及平行向量的性质，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。
8.
【解析】
如图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，所以圆柱的下底面积为；圆柱的侧面积为；圆锥的母线，所以圆锥的侧面积为，所以该模型的表面积为。
故答案为：。
【点晴】本题主要考查圆柱、圆锥侧面积的公式应用，属于基础题。
9.
【解析】与同方向的单位向量
故答案为：
【点睛】本题考查了单位向量的计算，属于基础题型。
10.
【解析】
由得：，即，
设
则
则点C在以AB为直径的圆O上运动，
由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，
设∠ADC=θ，
则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+csθ=，
所以当时，|DC|取最大值。
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及三角函数求最值问题，属中档题。
11. 证明：（1）取中点，连接，，
∵，，
∴是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面。
（2）点为的中点。
证：连接，，
因为、分别是，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为，，所以且，
即四边形是平行四边形，所以，
因为平面，所以平面。
又因为，所以平面平面。
【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型。
12. 解：（1）∵，，，，
∴，，，，
∴；
又∵，∴；
（2）当时，，
∴，则，∴。
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。
13. 解：（1）由已知及正弦定理，有，
即。
所以。
因为，
所以，
即，所以。
（2）由题设及余弦定理得，
，
即。
所以。从而。
由（1）知，
所以。所以为正三角形。
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，实现角边相互转化，是判断三角形的形状常采用的一种方法。
14. 解：（1）由，得，，∴，
∴。
（2），
，
∴，
最小正周期为。
【点睛】
（1）利用齐次式解决问题时注意1的妙用。
（2）平面向量数量积运算，满足实数的乘法分配律，可直接进行化简。
一、单选题（每题5分，共30分）
1. 已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 复数在复平面内，所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，若，则一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5. 已知，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
7. 给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上。
其中不正确命题的序号是________。
8. 如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______；
9. 若，则与同方向的单位向量____________。
10. 已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为__________。
三、解答题（第11-13题每题12分，第14题共14分，共50分）
11.（本小题12分）
如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为边的中点.
（1）求证：平面.
（2）在上找一点使得平面平面，并证明.
12. （本小题12分）
已知向量，，，。
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值。
13. （本小题12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，试确定的形状。
14. （本小题14分）
已知，。
（1）若，求的值；
（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数的表达式及的最小正周期。
1. B
【解析】
，，
，
的虚部为。
故选：B。
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题。
2. A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A。
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算。
3. B
【解析】
，
因为，，故所对应的点在第二象限。
故选B。
【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本求解能力，是基础题。
4. D
【解析】
因，所以，所以，
由正弦定理可知，
所以。 又，且，
所以或，
所以或，
则是等腰三角形或直角三角形，
故选：D。
【点睛】
本题主要考查正弦定理边角互化和三角形形状的判定，考查平面向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力。
5. C
【解析】
，
所以。
因为，所以，
所以，所以。
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力。
6. C
【解析】
∵D是BC的中点，
∴，即，
∴=（）=+=﹣6，
又=（）•（）=（）=（b2﹣16），
∴﹣6=（b2﹣16），解得b=2，
∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0，
∴a=4b﹣c=4，
由余弦定理得csA==。
故选C。
【点睛】本题主要考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问题经常会与数量积的几何意义投影结合到一起，外心在边上的射影点恰好是中点，利用这个性质很多问题都可以迎刃而解。
7. ②④⑤
【解析】
向量与是相反向量，它们的模长相等，即①正确;
零向量与任何向量平行，若向量与中恰有一个为零向量，则它们的方向不满足题意，即②错误;
对于相等向量，若它们有共同的起点，则它们终点也相同，即③正确;
两个有公共终点的向量，若它们的起点和终点不在一条直线上，则它们不共线，即④错误;
因为向量可以平移，所以共线向量与中，不一定在同一条直线上，即⑤错误。
故答案为：②④⑤。
【点睛】本题考查了相等向量、相反向量及平行向量的性质，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。
8.
【解析】
如图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，所以圆柱的下底面积为；圆柱的侧面积为；圆锥的母线，所以圆锥的侧面积为，所以该模型的表面积为。
故答案为：。
【点晴】本题主要考查圆柱、圆锥侧面积的公式应用，属于基础题。
9.
【解析】与同方向的单位向量
故答案为：
【点睛】本题考查了单位向量的计算，属于基础题型。
10.
【解析】
由得：，即，
设
则
则点C在以AB为直径的圆O上运动，
由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，
设∠ADC=θ，
则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+csθ=，
所以当时，|DC|取最大值。
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及三角函数求最值问题，属中档题。
11. 证明：（1）取中点，连接，，
∵，，
∴是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面。
（2）点为的中点。
证：连接，，
因为、分别是，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为，，所以且，
即四边形是平行四边形，所以，
因为平面，所以平面。
又因为，所以平面平面。
【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型。
12. 解：（1）∵，，，，
∴，，，，
∴；
又∵，∴；
（2）当时，，
∴，则，∴。
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。
13. 解：（1）由已知及正弦定理，有，
即。
所以。
因为，
所以，
即，所以。
（2）由题设及余弦定理得，
，
即。
所以。从而。
由（1）知，
所以。所以为正三角形。
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，实现角边相互转化，是判断三角形的形状常采用的一种方法。
14. 解：（1）由，得，，∴，
∴。
（2），
，
∴，
最小正周期为。
【点睛】
（1）利用齐次式解决问题时注意1的妙用。
（2）平面向量数量积运算，满足实数的乘法分配律，可直接进行化简。
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