高中数学人教版新课标A必修1本节综合精品课后练习题

2021高中数学 指数函数 同步练习

一         、选择题

1.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=ax－a－x＋2(a>0，且a≠1).若g(2)=a，则f(2)等于(　　)

A.2           B.          C.          D.a2

2.已知函数f(x)=则f(f(－1))=(　　)

A.2         B.           C.0         D.0.5

A.f(－4)>f(1)      B.f(－4)=f(1)    C.f(－4)<f(1)      D.不能确定

4.若函数f(x)=是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)

A.(－∞，－1)      B.(－1,0)    C.(0,1)      D.(1，＋∞)

5.函数y=2－x＋1＋2的图象可以由函数y=(0.5)x的图象经过怎样的平移得到(　　)

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

6.函数y=(0.5)1－x的单调递增区间为(　　)

A.(－∞，＋∞)      B.(0，＋∞)       C.(1，＋∞)      D.(0,1)

7.函数y=(0.5)1－x的单调递增区间为(　　)

A.(－∞，＋∞)     B.(0，＋∞)      C.(1，＋∞)      D.(0,1)

8.函数y=的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　)

A.a＞0         B.a＜1         C.0＜a＜1        D.a≠1

9.已知a=30.2，b=0.2－3，c=(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a＞b＞c      B.b＞a＞c       C.c＞a＞b       D.b＞c＞a

10.已知f(x)=a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　　)

A.a>0        B.a>1         C.a<1        D.0<a<1

11.已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=ax－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)的值为(　　)

A.a2           B.2         C.          D.

12.已知3x－3－y≥5－x－5y成立，则下列正确的是(　　)

A.x＋y≤0         B.x＋y≥0       C.x－y≥0         D.x－y≤0

二         、填空题

13.函数f(x)=a2x－3ax＋2(a>0，且a≠1)的最小值为________.

14.若函数f(x)=a－为奇函数，则实数a=________.

15.已知函数f(x)=a＋是奇函数，若f(x)>，则实数x的取值范围为________.

三         、解答题

17.已知函数f(x)=1＋.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数.

18.已知函数f(x)=ax2－1(a>0且a≠1).

(1)若函数f(x)的图象经过点P(，4)，求a的值；

(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性；

(3)比较f(－2)与f(－2.1)的大小，并说明理由.

19.已知函数f(x)=3x，f(a＋2)=81，g(x)=.

(1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；

(2)用定义证明：函数g(x)在R上是单调递减函数；

(3)求函数g(x)的值域.

20.已知函数f(x)=1－，x∈(b－3,2b)是奇函数.

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)是区间(b－3,2b)上的减函数；

(3)若f(m－1)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围.

21.已知定义在R上的函数f(x)=a＋是奇函数.

(1)求a的值；

(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.

22.已知函数f(x)=a－(a∈R).

(1)判断并证明函数的单调性；

(2)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；

(3)在(2)的条件下，若对任意的t∈R，不等式f(t2＋2)＋f(t2－tk)＞0恒成立，求实数k的取值范围.

答案解析

一         、选择题

23.答案为：B;

解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)=ax－a－x＋2，①

得－f(x)＋g(x)=a－x－ax＋2，②

①＋②，得g(x)=2，①－②，得f(x)=ax－a－x.

又g(2)=a，∴a=2，∴f(x)=2x－2－x，∴f(2)=22－2－2=.

24.答案为：B；

解析：f(－1)=2－1=，f(f(－1))=f(0.5)=3=.

解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)=a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.

由函数f(x)=a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x=－1对称，可得函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数.再由f(1)=f(－3)，可得f(－4)>f(1)，故选A.

26.答案为：C；

解析：∵函数f(x)为奇函数，∴由f(－x)=－f(x)，得a=1，

∴f(x)==1＋＞3，∴0＜2x－1＜1,0＜x＜1.

27.答案为：C；

解析：y=2－x＋1＋2=(0.5)x－1＋2，设f(x)=(0.5)x，

则f(x－1)＋2=(0.5)x－1＋2，要想得到y=2－x＋1＋2的图象，

只需将y=(0.5)x图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位.

28.答案为：A；

解析：定义域为R.设u=1－x，则y=(0.5)u.

∵u=1－x在R上为减函数，又∵y=(0.5)u在(－∞，＋∞)上为减函数，

∴y=(0.5)1－x在(－∞，＋∞)上是增函数.

29.答案为：A;

解析：y=(0.5)1－x=×2x，∴在(－∞，＋∞)上为增函数.

30.答案为：C；

解析：由ax－1≥0，得ax≥a0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0＜a＜1.

31.答案为：B；

解析：c＜0，b=53＞3,1＜a＜3，∴b＞a＞c.

32.答案为：D；

解析：∵f(－2)=a2，f(－3)=a3，f(－2)>f(－3)，即a2>a3，故0<a<1.选D.

33.答案为：D；

解析：由题意得f(－x)＋g(－x)=a－x－ax＋2，即－f(x)＋g(x)=－ax＋a－x＋2，①

又f(x)＋g(x)=ax－a－x＋2，②

①＋②得g(x)=2，②－①得f(x)=ax－a－x.

∵g(b)=a，∴a=2，∴f(x)=2x－2－x，∴f(2)=22－2－2=.

34.答案为：B；

解析：构造函数f(x)=3x－5－x，∵y=3x为增函数，y=5－x为减函数，

由函数单调性的性质“增”－“减”=“增”得到函数f(x)=3x－5－x为增函数.

又∵3x－3－y≥5－x－5y，即3x－5－x≥3－y－5y，故x≥－y，即x＋y≥0，故选B.

二         、填空题

35.答案为：－；

解析：设ax=t(t>0)，则有f(t)=t2－3t＋2=(t－)2－，

∴t=时，f(t)取得最小值－.

36.答案为：；

解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即a－=0，解得a=.

37.答案为：x>0；

解析：函数f(x)=a＋是奇函数，可得f(－x)=－f(x)，

即a＋=－a－，即2a=－=1，解得a=，

∵f(x)>，∴＋>⇒4x>1，解得x>0.

解析：令t=x2－4x＋3，则其对称轴为x=2.当x≤2时，t随x增大而减小，

则y增大，即y=(0.5)错误！未找到引用源。的单调增区间为(－∞，2].

三         、解答题

39.解：(1)由f(x)=1＋可得，2x－1≠0，

所以x≠0.

所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}.

(2)设x1，x2∈(－∞，0)且x1<x2.

f(x1)－f(x2)=－=

因为x1，x2∈(－∞，0)且x1<x2，

所以2x2>2x1且2x1<1,2x2<1.

所以f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2).

以函数f(x)在(－∞，0)上为减函数.

40.解：(1)∵函数f(x)的图象经过点P(，4)，∴f()=a2=4，∴a=2.

(2)函数f(x)为偶函数.

∵函数f(x)的定义域为R，且f(－x)=a(－x)2－1=ax2－1=f(x)，

∴函数f(x)为偶函数.

(3)∵y=x2－1在(－∞，0)上单调递减，

∴当a>1时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，

∴f(－2)<f(－2.1)；

当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，

∴f(－2)>f(－2.1).

41.解：

(1)由f(a＋2)=3a＋2=81，得a＋2=4，故a=2，则g(x)=，

又g(－x)===－f(x)，

故g(x)是奇函数.

(2)证明：设x1<x2∈R，f(x1)－f(x2)=－=.

∵x1<x2，∴2 x1<2 x2，

又2x1>0,2x2>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

则函数g(x)在R上是单调递减函数.

(3)g(x)===－1，

∵2x>0,2x＋1>1，∴0<<1,0<<2，－1<－1<1，

故函数g(x)的值域为(－1,1).

42.解：(1)∵函数f(x)=1－，x∈(b－3,2b)是奇函数，

∴f(0)=1－=0，且b－3＋2b=0，即a=2，b=1.

(2)证明：由(1)得f(x)=1－=，x∈(－2,2)，

设任意x1，x2∈(－2,2)且x1＜x2，

∴f(x1)－f(x2)=－=，

∵x1＜x2，∴5 x1<5x2，∴5x2－5 x1>0，

又∵5 x1＋1>0,5x2＋1>0，∴>0，∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)是区间(－2,2)上的减函数.

(3)∵f(m－1)＋f(2m＋1)＞0，

∴f(m－1)＞－f(2m＋1).

∵f(x)是奇函数，∴f(m－1)＞f(－2m－1)，

∵f(x)是区间(－2,2)上的减函数，

∴即有∴－1＜m＜0，

则实数m的取值范围是(－1,0).

43.解　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，

∴f(0)=0，即a＋=0，a=－.

(2)由(1)知f(x)=－＋，故f(x)在R上为减函数.

(3)∵f(x)为奇函数，

∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)<f(k－2t2)，

由(2)知f(x)在R上单调递减，∴t2－2t>k－2t2，

即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，

∴Δ=4＋12k<0，得k<－，

∴k的取值范围是(-∞,－).

44.解：(1)函数f(x)为R上的增函数.证明如下：

显然函数f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈R，设x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)=－=.

因为y=2x是R上的增函数，且x1＜x2，

所以2x1－2x2＜0.

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).

故函数f(x)为R上的增函数.

(2)因为函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)=0，

即f(0)=a－=0，解得a=1.

(3)因为f(x)是奇函数，

从而不等式f(t2＋2)＋f(t2－tk)＞0对任意的t∈R恒成立等价于

不等式f(t2＋2)＞f(tk－t2)对任意的t∈R恒成立.

又因为f(x)在R上为增函数，

所以等价于不等式t2＋2＞tk－t2对任意的t∈R恒成立，

即不等式2t2－kt＋2＞0对任意的t∈R恒成立.

所以必须有Δ=k2－16＜0，即－4＜k＜4.

所以，实数k的取值范围是(－4,4).