高中 / 数学 / 人教A版 (2019) / 必修 第二册 / 全册综合期中试卷讲评同步练习

下学期期中试卷

（答题时间：90分钟）

一、单选题（每题5分，共30分）

1. 已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（    ）

A.         B.          C.           D.

2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（    ）

A.              B.

C.              D.

3. 复数在复平面内，所对应的点在（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，若，则一定是（    ）

A. 锐角三角形                B. 等腰三角形

C. 直角三角形               D. 等腰三角形或直角三角形

5. 已知，若，则的值为（    ）

A.          B.             C.             D.

6. 在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（    ）

A.       B.       C.        D.

二、填空题（每题5分，共20分）

7. 给出下列命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上。

其中不正确命题的序号是________。

8. 如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______；

9. 若，则与同方向的单位向量____________。

10. 已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为__________。

三、解答题（第11-13题每题12分，第14题共14分，共50分）

11.（本小题12分）

如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为边的中点.

（1）求证：平面.

（2）在上找一点使得平面平面，并证明.

12. （本小题12分）

已知向量，，，。

（1）求与的夹角；

（2）若，求实数的值。

13. （本小题12分）

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求角B的大小；

（2）若，试确定的形状。

14. （本小题14分）

已知，。

（1）若，求的值；

（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数的表达式及的最小正周期。

下学期期中试卷参考答案

1. B

【解析】

，，

，

的虚部为。

故选：B。

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题。

2. A

【解析】

根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A。

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算。

3. B

【解析】

，

因为，，故所对应的点在第二象限。

故选B。

【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本求解能力，是基础题。

4. D

【解析】

因，所以，所以，

由正弦定理可知，

所以。 又，且，

所以或，

所以或，

则是等腰三角形或直角三角形，

故选：D。

【点睛】

本题主要考查正弦定理边角互化和三角形形状的判定，考查平面向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力。

5. C

【解析】

，

所以。

因为，所以，

所以，所以。

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力。

6. C

【解析】

∵D是BC的中点，

∴，即，

∴=（）=+=﹣6，

又=（）•（）=（）=（b2﹣16），

∴﹣6=（b2﹣16），解得b=2，

∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0，

∴a=4b﹣c=4，

由余弦定理得cosA==。

故选C。

【点睛】本题主要考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问题经常会与数量积的几何意义投影结合到一起，外心在边上的射影点恰好是中点，利用这个性质很多问题都可以迎刃而解。

7. ②④⑤

【解析】

向量与是相反向量，它们的模长相等，即①正确;

零向量与任何向量平行，若向量与中恰有一个为零向量，则它们的方向不满足题意，即②错误;

对于相等向量，若它们有共同的起点，则它们终点也相同，即③正确;

两个有公共终点的向量，若它们的起点和终点不在一条直线上，则它们不共线，即④错误;

因为向量可以平移，所以共线向量与中，不一定在同一条直线上，即⑤错误。

故答案为：②④⑤。

【点睛】本题考查了相等向量、相反向量及平行向量的性质，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。

8.

【解析】

如图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，所以圆柱的下底面积为；圆柱的侧面积为；圆锥的母线，所以圆锥的侧面积为，所以该模型的表面积为。

故答案为：。

【点晴】本题主要考查圆柱、圆锥侧面积的公式应用，属于基础题。

9.

【解析】与同方向的单位向量

故答案为：

【点睛】本题考查了单位向量的计算，属于基础题型。

10.

【解析】

由得：，即，

设

则

则点C在以AB为直径的圆O上运动，

由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，

设∠ADC=θ，

则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=，

所以当时，|DC|取最大值。

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及三角函数求最值问题，属中档题。

11. 证明：（1）取中点，连接，，

∵，，

∴是平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面。

（2）点为的中点。

证：连接，，

因为、分别是，的中点，所以，

又平面，平面，所以平面，

又因为，，所以且，

即四边形是平行四边形，所以，

因为平面，所以平面。

又因为，所以平面平面。

【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型。

12. 解：（1）∵，，，，

∴，，，，

∴；

又∵，∴；

（2）当时，，

∴，则，∴。

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。

13. 解：（1）由已知及正弦定理，有，

即。

所以。

因为，

所以，

即，所以。

（2）由题设及余弦定理得，

，

即。

所以。从而。

由（1）知，

所以。所以为正三角形。

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，实现角边相互转化，是判断三角形的形状常采用的一种方法。

14. 解：（1）由，得，，∴，

∴。

（2），

，

∴，

最小正周期为。

【点睛】

（1）利用齐次式解决问题时注意1的妙用。

（2）平面向量数量积运算，满足实数的乘法分配律，可直接进行化简。