高中 / 数学 / 人教A版 (2019) / 必修 第二册 / 全册综合期末复习：立体几何中的转化策略

立体几何中的转化策略

立体几何中的转化策略（一）

               ——降维转化与等积转化

例题1  如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，E是DC边的中点，AC与BE的交点为O，PO⊥平面ABCD。

求证：PB⊥CD。

证明：在菱形ABCD中，∠BCD=60°，E是DC边的中点，设菱形ABCD的棱长为a，则EC=，BC=a，

所以BE2=EC2+BC2-2EC×BCcos60°=，

因为EC2+BE2=BC2，所以BE⊥CD。

又PO⊥平面ABCD，DC平面ABCD，

所以PO⊥DC。

又BE，PO是平面POB内两条相交直线，

所以DC⊥平面POB，又PB平面POB，

所以PB⊥CD。

总结提升：

解决空间问题的基本思路就是将空间问题化归为平面问题解决。如平面图形与直观图形的互化，“要证面面平行，先证线面平行”，“要证线面平行，先证线线平行”；“要证面面垂直，先证线面垂直”，“要证线面垂直，先证线线垂直”，这都是化归思想的具体体现。求二面角的大小，应化为求其平面角的大小，求线面角，应化为求直线与其再平面内的射影所成的角，求异面直线所成的角应化为求其平行线所成的角。

实现空间问题向平面问题转化的方法有很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。

例题2  已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为a，∠ASB=45°，M，N分别是棱SB，SC上的点，求ΔAMN周长的最小值（图甲）。

解析：由于ΔAMN的三条边AM，MN，NA分别在三个平面SAB，SBC，SCA上，要直接计算它们的周长，并求其最小值，显然有一定的困难，但是正因为这三条边在三个侧面上，所以可以把三棱锥的侧面展开，使三棱锥的四个面都在同一个平面上（图乙）。

这时，ΔAMN的周长转化为折线AMNA1的长。

于是，所求的ΔAMN周长的最小值就是线段AA1的长，而AA1的长很容易用余弦定理求出。

在ΔSAA1中，因为SA=SA1=a，∠ASB=45°，则∠ASA1=135°，

于是AA12=a2+a2-2a2cos135°=。

所以AA1=。

总结提升：把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法。

例题3  如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是__________。

答案：

解析：将ΔBCC1沿BC1展开，使得ΔBCC1与ΔA1BC1在同一个平面内，连接A1C，则

CP+PA1≥A1C

由∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1得，又

所以，，，

所以，，所以

由余弦定理。

总结提升：求空间图形上的最短距离问题，通常将空间图形转化为平面图形，在平面图形中求解距离的最值。

例题4  如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，证明直线BC1//平面D1AC，并求直线BC1到平面D1AC的距离。

解析：因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故AB//C1D1，AB=C1D1，

故ABC1D1为平行四边形，故BC1//AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1//平面D1AC。

直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h。

考虑三棱锥A-BCD1的体积，以ABC为底面，可得，

而ΔAD1C中，AC=D1C=，AD1=，故

所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为。

总结提升：三棱锥是最简单的几何体，它的每一个顶点均可作为该三棱锥的顶点，每一个面均可作为棱锥的底面，因此要多角度观察图形，适当进行等积变换，可简化求解过程。

1. 空间问题向平面问题转化

将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为线线垂直；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）都体现了空间到平面的转化。

2. 等体积转化法：

解答某些立体几何问题时，如果利用常规方法不能解决或难度较大，则可根据三棱锥可以更换底面的特征，利用等体积转化法解题，就会给人“柳暗花明又一村”的感觉。利用等体积转化法可以解决三棱锥的体积，求点到面的距离以及直线到平面的距离等问题，在解题中要灵活应用。

（答题时间：40分钟）

1. 如图，A1A是圆柱的母线，圆柱底面圆的直径为 AB=5，C 是底面圆周上异于 A，B 的点，A1A=BC=4则点 A 到平面 A1BC 的距离为（    ）

A. 3 B.  C. 3 D.

2. 已知三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EF⊥SC。

3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，M为PC的中点。

（1）求证：PC⊥AD；

（2）求点D到平面PAM的距离。

4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在A1B上。

（1）求证：BC⊥A1B；

（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P-A1BC的体积。

5. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点。

（1）求证：DE⊥平面BCE；

（2）求证：AF//平面BDE。

1. 答案：B

解析：∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵A1A⊥面ABC，BC面ABC，

∴A1A⊥BC，又AC∩A1A=A，∴BC⊥平面A1AC。

设点A到平面A1CB的高为h，则

2. 解析：∵SA⊥面ABC，BC面ABC，∴BC⊥SA，

又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，AE面ABC，

∴BC⊥AE，又因为AE⊥SB，

∴AE⊥面SBC，SC面SBC，

∴AE⊥SC，又AF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，EF面AEF，∴EF⊥SC。

3. 解析：（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OC，AC。依题意可知ΔPAD，ΔACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC平面POC，OP平面POC，

∴AD⊥平面POC，又PC平面POC，∴PC⊥AD。

（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，

由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，即PO是三棱锥P－ACD的高。

在Rt ΔPOC中，PO=OC=，则PC=，

在ΔPAC中，PA=AC=2，PC=，则AM=

∴

设点D平面PAC的距离为h，由VD-PAC=VP-ACD，得

又

∴解得∴点D到平面PAM的距离为

4. 解析：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC平面ABC，

∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A１BC，且BC平面A１BC，∴AD⊥BC。

又AA１平面A１AB，AD平面A１AB，A１A∩AD＝A，

∴BC⊥平面A１AB，由A１B平面A１AB，∴BC⊥A１B。

（2）在直三棱柱ABC－A１B１C１中，A1A⊥平面A1BC，∴AD⊥A1B。

在RtΔABD中，AD=，AB=BC=2，∴

在RtΔABA1中，AA1=AB·tan60°=。

由（1）知BC⊥AB，∴

∵P为AC的中点，

∴∴

5. 证明：（1）易求得DE=，EC=，DC=2a，∴DE2+EC2=DC2，∴DE⊥EC。

又因为BC⊥平面CDD1C1，DE平面CDD1C1，∴BC⊥DE。又BC∩EC=C，∴DE⊥平面BCE。

（2）设点M为A1B1的中点，连接FM，MA。

∵EM//AD，EM=AD，∴四边形EMAD为平行四边形，∴DE//AM，DE平面DEB中，

∴AM//平面DEB。易证FM//DB，DB平面DEB中，∴FM//平面DEB。

又FM∩AM=M，∴平面FMA//平面DEB，AF平面DEB，∴AF//平面BDE。

立体几何中的转化策略（二）

               ——动静转化与割补转化

例题1  如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_________。

答案：

解析：因为D1E是平面ABCD的一条斜线，且D1E在底面ABCD内的射影为DE，

又因为点P在D1E上，所以点P在底面ABCD内的射影在DE上。

由于，所以点P到C1C的距离，即为点到C1C的距离。

则点C到DE的距离d即为点P到直线CC1的距离的最小值。

所以，

故点P到直线CC1的距离的最小值为。

总结提升：本题考查点到直线的距离的最小值的求法，熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键。

例题2  如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=1，DE⊥PA，DE⊥BC，且DE=h，求三棱锥P-ABC的体积。

答案：

解析：如图，连结AD、PD，∵BC⊥DE，BC⊥PA，     

∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，

∴VP－ABC＝VB－APD＋VC－APD＝BC·S⊿APD＝。  

总结提升：“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。

例题3  一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（     ）

A.            B.          C.        D.

答案：A

解析：将四面体A-BCD补成正方体，因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为1，正方体的体对角线长为。

因为正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点，

所以外接球的直径等于正方体的体对角线长，即，

所以，故选A。

例题4  一个四棱锥和一个三棱锥恰好拼接成一个三棱柱。这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h3，则h1：h2：h3=（    ）

A.           B.         C.       D.

答案：B

解析：如图所示，四边形BCC1B1为正方形，设AB=BC=AC=CC1=a，则

V四棱锥=，V三棱锥，V三棱柱，

∵V四棱锥+V三棱锥=V三棱柱，

∴，即，

∴。

总结提升：割补法包括分割求和法与补形法，分割求和法就是把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体，求出每个规则几何体的体积，然后进行体积求和即可；补形法是当直接求某些几何体的体积较困难时，可以将它补成熟悉的几何体，如正方体、长方体等对称性比较好的几何体，以此来求几何体的体积。

割补法是重要的数学方法之一，在立体几何中利用补形的方法可以既简单又巧妙地解决很多问题。

注意，复杂的几何体都是由简单的几何体组成，在求体积时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对几何体的观察角度，以得到最佳体积法。

（答题时间：40分钟）

1. 有一根长为，底面直径为2cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁罐上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______cm。

2. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中取点A1，C1，B，D，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积。

3. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，如果AB=PA。

求：平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小。

4. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积。

1. 答案：

解析：将圆柱沿着母线展开，如图所示，则AC的长度为铁丝的最短长度。

则。

2. 解法1：因为正方体的棱长为a，此多面体是正四面体，其棱长为。

，

。

解法2：V正四面体=V正方体-4V三棱锥=

3. 解析：如图所示，将图补成一个正方体。

∴平面ABP即为平面ABB1P所在平面。

∴平面PDC即为平面PDCB１所在平面。

∴所求二面角即为正方体的对角面PDCB１与侧面ABB１P所成角。

即。

4. 解析：将四棱锥A1－EBFD1分割成两个三棱锥A1-EBD１和A1-BFD1，则

，

过点F作FM⊥D1C，垂足为M。

∵A1D1⊥平面DD1C1C，FM，

∴A1D1⊥FM，又A1D1∩D1C=D1，∴FM⊥平面A1D1B。

，

∴四棱锥A1－EBFD1的体积为。