高中人教A版 (2019)8.6 空间直线、平面的垂直优质学案设计

空间中的垂直关系

平面与平面垂直的判定

核心知识点一：二面角及二面角的平面角

1. 二面角的有关概念

（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。

（2）相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面。

（3）画法：

（4）记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q.

2. 二面角的平面角

若有①O∈l；②OAα，OBβ；

③OA⊥l， OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB。

思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？

提示：无关。如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关。

核心知识点二：平面与平面垂直的定义与判定

1. 定义

（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）画法：

（3）记作：α⊥β。

2. 判定定理

思考：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？

提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面。

例题1  如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值。

解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD。

由二面角的定义可知∠AMB为二面角A­CD­B的平面角。

设点H是∆BCD的重心，

则AH⊥平面BCD，且点H在BM上。

在Rt∆AMH中，AM＝×2＝，

HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，

即二面角的余弦值为。

总结提升：

1. 求二面角的大小关键是作出平面角：

求二面角大小的步骤是：

（1）找出这个平面角；

（2）证明这个角是二面角的平面角；

（3）作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小。

2. 确定二面角的平面角的方法：

（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线。

（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角。

例题2  如图所示，在四面体A－BCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC。

求证：平面ABC⊥平面SBC。

解：（1）法一：（利用定义证明）

因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，

所以∆ASB和∆ASC是等边三角形，

则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，

令其值为a，则∆ABC和∆SBC为共底边BC的等腰三角形。

取BC的中点D，如图所示，

连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，

所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角。

在Rt∆BSC中，因为SB＝SC＝a，

所以SD＝a，BD＝＝a。

在Rt∆ABD中，AD＝a，

在∆ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，

所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC。

法二：（利用判定定理）

因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，

所以SA＝AB＝AC，

所以点A在平面SBC上的射影为∆SBC的外心。

因为∆SBC为直角三角形，

所以点A在∆SBC上的射影D为斜边BC的中点，

所以AD⊥平面SBC。

又因为AD平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC。

总结提升：

证明面面垂直常用的方法：

（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；

（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面。

例题3　如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点。

（1）求证：A1E⊥BD；

（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD。

思路探究：（1）欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；

（2）要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面。

证明：连接AC，设AC∩DB＝O，

连接A1O，OE，

（1）因为AA1⊥底面ABCD，

所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，

所以BD⊥平面ACEA1，

因为A1E平面ACEA1，所以A1E⊥BD。

（2）在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，

因为BD⊥平面ACEA1，OE平面ACEA1，

所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1­BD­E的平面角。

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝a，A1O＝a，A1E＝3a，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD。

总结提升：

线面、面面垂直的综合问题的解题策略：

（1）重视转化

涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直。

（2）充分挖掘线面垂直关系

解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用。

1. 求二面角大小的步骤

简称为“一作、二证、三求”。

2. 平面与平面垂直的判定定理的应用思路

（1）本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直。

（2）证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（　　）

A. 平行 B. 可能重合

C. 相交且垂直 D. 相交不垂直

2. 从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（　　）

A. 互为余角 B. 相等

C. 其和为周角 D. 互为补角

二、填空题

3. 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于________。

4. 如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于________。

三、解答题

5. 如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小。

6. 如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD。

1. 答案：C

解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C。

2. 答案：D　

解析：画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D。

3. 答案：45°

解析：根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面

角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A­BC­A1的平面角. 又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°。

4. 答案：90°

解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°。所以所求二面角的大小为90°。

5. 证明：因为AC⊥平面 BCD，BD平面 BCD，

所以BD⊥AC。

又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，

所以BD⊥平面 ACD。

因为AD平面 ACD，所以AD⊥BD，

所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角。

在Rt∆ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°。

6. 证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE。

因为O为AC中点，E为PA的中点，

所以EO是∆PAC的中位线，

所以EO∥PC。

因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD。

又因为EO平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABCD。

平面与平面垂直的性质

核心知识点一：平面与平面垂直的性质

例题1  如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC。

求证：BC⊥AB。

证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D。

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD平面PAB，

∴AD⊥平面PBC。

又BC平面PBC，∴AD⊥BC。

又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB。

又AB平面PAB，∴BC⊥AB。

总结提升：

1. 证明或判定线面垂直的常用方法：

（1）线面垂直的判定定理；

（2）面面垂直的性质定理；

（3）若a∥b，a⊥α，则b⊥α（a、b为直线，α为平面）；

（4）若a⊥α，α∥β，则a⊥β（a为直线，α，β为平面）；

2. 两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线。

例题2  如图所示，∆ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点。

求证：（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA；

（3）平面DEA⊥平面ECA。

证明：（1）设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，

则CF＝DB＝a. 因为CE⊥平面ABC，

所以BC⊥CF，DF⊥EC，

所以DE＝＝a。

又因为DB⊥平面ABC，

所以DA＝＝a，

所以DE＝DA。

（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MNCEDB。

所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN。

又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD。

又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE。

所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA。

（3）由（2）知DM⊥平面AEC，而DM平面DEA，

所以平面DEA⊥平面ECA。

总结提升：

垂直问题转化关系如下所示：

垂直关系的互化及解题策略：

空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等。还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题。

1. 线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据。

2. 面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是（　　）

A. a⊥α　　　      B. a∥α

C. aα         D. aα或a∥α

2. 已知l⊥平面α，直线m平面β. 有下面四个命题：

①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β.

其中正确的两个命题是（　　）

A. ①②    B. ③④     C. ②②     D. ①③

3. 如图所示，三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（　　）

A. PD平面ABC

B. PD⊥平面ABC

C. PD与平面ABC相交但不垂直

D. PD∥平面ABC

二、解答题

4. 如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD。

求证：平面SCD⊥平面SBC。

5. 如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD。

求证：平面VBC⊥平面VAC。

1. 答案：D

解析：a⊥b，b⊥α，则a∥α或aα，选D。

2. 答案：D

解析：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵mβ，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵mβ，∴α⊥β，故③正确。

3. 答案：B

解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB. 又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC。

4. 证明：因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD。

又平面SDC⊥平面ABCD，

平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，

所以BC⊥平面SCD。

又因为BC⊥平面SBC。

所以平面SCD⊥平面SBC。

5. 证明：∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC平面ABCD。

∴BC⊥面VAB，

又VA平面VAB，∴BC⊥VA，

又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，

又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，

∵VA面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC。