数学必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率精品导学案及答案

这是一份数学必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率精品导学案及答案，共15页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

随机事件与概率
随机事件及古典概型


重点
理解样本空间和随机事件的概念，掌握事件之间的关系和运算，古典概型。
难点
事件之间的关系和运算，古典概型概率的求解。
考试要求
考试
Ø 题型 选择 填空 解答
Ø 难度 中等





核心知识点一：随机事件
1. 随机试验
我们把随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验。
特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。
2. 样本点与样本空间
随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（sample space）。一般地，我们用Ω表示样本空间，用w表示样本点。
3. 随机事件
随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。随机事件一般用大写字母A，B，C，… 表示，在每次试验中。当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。
4. 事件的分类


核心知识点二：事件的关系和运算
1. 事件的关系
（1）一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）。记作
（2）如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，则事件A和事件B相等。记作A=B。
2. 事件的运算
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生

并事件（和事件）
A与B至少一个发生
A∪B或A+B
交事件（积事件）
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥（互不相容）
A与B不能同时发生
A∩B=Ф
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=Ф，A∪B=Ω

核心知识点三：古典概型
1. 概率
对随机事件发生可能性大小的度量（数值），称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示。
2. 古典概型
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个，
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
具有以上两个特征的试验称为古典概率模型，简称古典概型。


类型一：随机事件
例题1 下列事件中是随机事件的个数有（ ）
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；
③某人买彩票中奖；
④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
解析：由题意，随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点可能发生，也可能不发生，所以是随机事件，
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定发生的事件，不是随机事件；
③某人买彩票中奖，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；
④已经有一个女儿，那么第二次生男孩，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；
⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾，此事一定不发生，不是随机事件。故选C。
总结提升：
根据随机事件的概念，逐个判断，在判定时注意必然事件和不可能事件。

类型二：互斥事件与对立事件
例题2 袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则（ ）
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球。
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（　　）
A. ①　　　 B. ②　　　
C. ③　　　 D. ④
答案：A
解析：由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，满足题意只有①。
总结提升：
从互斥事件和对立事件的概念出发，理解什么是互斥事件，什么是对立事件，要知道对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。

类型三： 古典概型
例题3 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游。
（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率。
解：（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共个。
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：
，共个，则所求事件的概率为：。
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共个，包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共个，
所以所求事件的概率为：。
总结提升：
利用古典概型求解题目，要注意审题，看题目是否符合古典概型的两个特征，符合就可以运用古典概型的概率公式求解。


1. 随机事件的概念，以及必然事件和不可能事件，掌握随机事件的特点。
2. 事件的关系和运算，掌握了这方面的知识，让我们在求解复杂事件的概率时有了帮助。
3. 古典概型是概率里面一个重要的模型，理解古典概型的特征，判断出概率模型，求解就得心应手。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（ ）
A. 恰有2名男生与恰有4名男生
B. 至少有3名男生与全是男生
C. 至少有1名男生与全是女生
D. 至少有1名男生与至少有1名女生
2. 甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么（ ）
A. 甲是乙的充要条件
B. 甲是乙的充分但不必要条件
C. 甲是乙的必要但不充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
3. 从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A. B.
C. D.
5. 从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A. 3件都是正品 B. 3件都是次品
C. 至少有1件次品 D. 至少有1件正品

二、填空题
6. 在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为________。
7. 一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是________。

三、解答题
8. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160。现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率。






1. 答案：C
解析：“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项。
故选：C。
2. 答案：C
解析：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件。
当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件。
所以甲是乙的必要非充分条件。故选C。
3. 答案：D
解析：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率P=
故答案为D。
4. 答案：B
解析：设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种。其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B。
5. 答案：D
解析：从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件
：3件都是正品是随机事件，
：3件都是次品不可能事件，
：至少有1件次品是随机事件，
：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D 。
6. 答案：
解析：分析题意可知，共有（0，1，2），（0，2，5），（1，2，5），（0，1，5）4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝。
7. 答案：0.75
解析：因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，
所以摸出黑球或红球的概率。
8. 解析：（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人。
（2）①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}共21种。
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种。
所以，事件M发生的概率P（M）＝。



概率的基本性质

重点
理解概率的六个基本性质，掌握概率的运算法则。
能够利用概率的性质求较复杂事件的概率。
难点
概率性质的应用
考试要求
考试
Ø 题型 选择 填空 解答
Ø 难度 中等






核心知识点一：概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥ 0
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P（Ω）=1，P（Φ）=0
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P（B）=1- P（A），P（A）=1- P（B）
性质5：如果A B，那么P（A）≤P（B）
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
P（A∪B）=P（A）+P（B）- P（A∩B）


例题1 已知随机事件和互斥，且，。则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：与互斥

本题正确选项：D

总结提升：
根据性质3，互斥事件概率的求法，P（A∪B）=P（A）+P（B），先求出平P（A），然后再求解。

例题2 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黑球的概率是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，
摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是。
故应选C。

例题3 在一次随机试验中，已知A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B与C是互斥事件 B. A＋B与C是对立事件
C. A＋B＋C是必然事件 D.
答案：D
解析：A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，不能确定它们之间有任何关系，故选项A、B、C均错，而，，D正确。
故选D。
总结提升：
根据概率的性质求解题目，一定要注意随机事件之间的关系，互斥事件的概率是概率性质中最重要的一个性质，对立事件是特殊的互斥事件。

例题4 某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率。
解：记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，
则有，
，
，
.
总结提升：
求复杂事件的概率的两种方法：
（1）将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件。
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件分类太多，而其对立事件的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”。它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率。


1. 概率的基本性质中注意事件的概率都是大于等于零的。
2. 必然事件的概率，不可能事件的概率，随机事件的概率之间的关系。
3. 互斥事件的概率公式，对立事件的概率公式。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A. 0.3 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.9
2. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品（甲级）的概率为（ ）
A. 0.95 B. 0.97 C. 0.92 D. 0.08
3. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
4. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）＝（　　）
A. B. C. D.
5. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A. 至少有一个红球与都是红球
B. 至少有一个红球与都是白球
C. 恰有一个红球与恰有二个红球
D. 至少有一个红球与至少有一个白球
6. 某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（　　）
A. 0.90 B. 0.30 C. 0.60 D. 0.40

二、填空题
7. 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______。
8. 口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有_________个。

三、解答题
9. 某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得。1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
（1）P（A）， P（B）， P（C）；
（2）1张奖券的中奖概率；
（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率。





1. 答案：B
解析：因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选B
2. 答案：C
解析：因为抽验一件产品只有三种结果，甲、乙、丙三级。利用对立事件的概率公式可知1-5%-3%=92%，即选择C
3. 答案：C
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为。
4. 答案：A
解析：∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，
记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，
∴P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，
P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝＝。
故选：A。
5. 答案：C
解析：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球。
选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C。
6. 答案：D
解析：由题意知射手在一次射击中不够8环的对立事件是射手在一次射击中不小于8环，
∵射手在一次射击中不小于8环包括击中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的，
∴射手在一次射击中不小于8环的概率是0.20+0.30+0.10＝0.60，
∴射手在一次射击中不够8环的概率是1﹣0.60＝0.40，
故选：D。
7. 答案：0.5
解析：设甲、乙两人下成和棋，甲获胜的概率为，则乙不输的概率为，
甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，
，，
，
解得。
两人下成和棋的概率为。
8. 答案：15　
解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3。设黑球有n个，则＝，故n＝15。
9.答案：（1）11000，1100，120；（2）611000；（3）9891000。
解析：（1）∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P（A）=11000，P（B）=1100，P（C）=120。
（2）设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P（D）=P（A）+P（B）+P（C）= 11000+1100+120=611000。
（3）设“抽取1张奖券不中特等奖和一等奖”为事件E，则P（E）=1-P（A）-P（B）=1-11000-1100=9891000。