数学7.2 复数的四则运算优秀导学案及答案

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复数重难点突破 重点1. 理解复数的有关概念；掌握复数代数形式表示及向量表示；2. 会运用复数的分类求出相关的复数（实数、纯虚数、虚数）对应的复数；3. 掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义。难点一元二次方程在复数范围内的解考试要求考试         题型  选择题         难度  容易  核心知识点一：复数的概念及其表示形式1. 形如a+bi（a，bR）的数称为复数，a，b分别叫做复数的实部、虚部。当b=0时，a+bi表示实数；当b≠0时，a+bi表示虚数；当a=0，b≠0时，a+bi表示纯虚数。{纯虚数}{虚数}，{实数}∪{虚数}={复数}=C2. 复数的几何形式：一般地，可用点Z（a，b）表示复数a+bi（a，b∈R），或用向量表示复数a+bi。3. 复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d。这是解决复数问题时进行虚实转化的工具。4. 共轭复数：z=a+bi与（a，b∈R）互为共轭复数。在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称；另外5. 复数的模：设z=a+bi（a，b∈R）在复平面上对应的点为Z（a，b），则把向量的模（即线段OZ的长度）叫做复数z的模。，且 核心知识点二：复数的运算1. 四则运算法则（可类比多项式的运算）（a，b，c，d∈R）（1）加法：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i（2）减法：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（3）乘法：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i（4）除法：（转化为乘法运算），简记为“分母实数化”。特例：（a+bi）（a-bi）=a2+b2；（1+i）2=2i，（1-i）2=-2i。2. 复数加法、减法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。复数的减法即向量的减法，满足三角形法则。z1-z2对应的向量，是以z2的对应点为起点，指向z1的对应点的向量，|z1-z2|表示复平面内与z1，z2对应的两点的距离，如：|z-i|表示z与i的对应的点的距离。 核心知识点三：复数与方程1. 含z的复数方程：可设出z的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。2. 实系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）Δ>0时，方程有两个不等实根；Δ=0时，方程有两个相等实根；Δ<0时，方程有两个互为共轭的虚根。 韦达定理以及求根公式仍然适用。3. 复系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式不再适用。如x2-ix-2=0，Δ=7>0，但该方程并无实根，但韦达定理以及求根公式仍适用。 类型一：复数的概念及分类例题1  已知 z是复数，z+2i，z（2+i）均为实数（i为虚数单位），对于复数ω=（z+ai）2，当a为何值时，ω为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。解析：设z=x+yi（x，y∈R），z+2i=x+（y+2）i，由题意得y=-2，z（2+i）=（x-2i）（2+i）=2x+2+（x-4）i，由题意得x=4，∴，（1）若ω为实数，则a=2，即ω=16；（2）若ω为虚数，则a-2≠0，∴a≠2。（3）若ω为纯虚数，则a≠2，且12+4a-a2=0，即a=-2，或a=6。总结提升：正确求z及化简ω是解本题的关键。注意在根据复数的概念求解相应参数的范围时，要根据复数的分类考虑到实部和虚部两个条件。 类型二：复数的几何意义及应用例题2  已知点集D={z||z+1+i|=1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值。解析：点集D的图象为以点C（-1，-）为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则。由图知，当OP过圆心C（-1，-）时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|=|OC|-1=，即|z|min=1。|z|max=|OC|+1=3。总结提升：复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义。复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法。 类型三：复数与方程例题3  已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p、q的值。解法1：将2i-3代入到方程2x2+px+q=0中，得2（2i-3）2+p（2i-3）+q=0，整理得（10-3p+q=0）+（2p-24）i=0。由复数相等的条件得，解得。解法2：由题意可知方程2x2+px+q=0的另一个根为-3-2i，根据根与系数关系可得，解得。总结提升：实系数一元二次方程，判别式和求根公式、根与系数关系均适用；非实系数一元二次方程，判别式不适用，但求根公式、根与系数关系适用。 类型四：复数中的新定义问题例题4  定义，若复数z满足，则z等于（    ）A. 1+i            B. 1-i          C. 3+i        D. 3-i答案：A解析：，即故选A。总结提升：解决新定义问题的关键是明确定义内容，紧盯计算方法，建立z的方程求解。 1. 数学思想方法：化归与转化的思想、方程的思想、数形结合的思想；2. 解决复数问题，注意虚实转化的方法；解决复数问题，注意充分利用共轭复数、模的运算性质。 （答题时间：30分钟）一、选择题1. 设，则（    ）A. 5 B.  C.  D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数为（    ）A.  B.  C.  D. 3. 复数，且，则的值是（    ）A.  B.  C.  D. 24. （2019年高考全国Ⅰ卷理数）设复数满足，在复平面内对应的点为，则（    ）A.  B. C.  D. 5. 已知复数满足关于的方程，且的虚部为1，则（    ）A.  B.  C. 2 D. 6. 设有下面四个命题，其中的真命题为（    ）A. 若复数，则B. 若复数，满足，则或C. 若复数满足，则D. 若复数，满足，则， 二、解答题7. 已知关于的方程有实数根，求实数的值。8. 已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的取值范围。  
1. 答案：C解析：由题意，复数，∴，故选C。2. 答案：B解析：，∴，化为，∴，则的共轭复数为，故选B。3. 答案：A解析：因为，∴，即，由此可得，结合，可解之得，故选A。4. 答案：C解析：由题可得，，，则，故选C。5. 答案：A解析：∵复数满足关于的方程，且的虚部为1，∴设复数，则，∴，∴，，∴，即。故选A。6. 答案：A解析：设，则由，得，因此，从而A正确；设，，则由，得，从而B错误；设，则由，得或，因此C错误；设，，则由，得，∴，因此D错误，故选A。7. 答案：或。解析：设是方程的实数根，则，即。根据复数相等的定义得，解之得或，所以方程的实数根为或，相应的实数的值为或。8. 答案：。解析：由题意得，于是，，，得，。