人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算精品学案设计

复数及其几何意义

核心知识点一：数系的扩充及复数的引入

1. 数系的扩充

2. 复数的概念：

（1）定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。

（2）表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式。

3. 复数的分类：

复数中，当，就是实数；，叫做虚数；当时，叫做纯虚数。

4. 复数集：

（1）定义：全体复数所构成的集合叫做复数集。

（2）表示：通常用大写字母C表示。

（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：

5. 复数相等的充要条件：

复数相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等。

核心知识点二：复数的几何意义

1. 复平面

思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？

提示：不正确。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数。

2. 复数的几何意义

3. 复数的模

（1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模。

（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝。

例题1　已知复数z＝＋（a2－5a－6）i（a∈R），试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

解：（1）当z为实数时，则

∴∴当a＝6时，z为实数。

（2）当z为虚数时，则∴

∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数。

（3）当z为纯虚数时，则∴∴不存在实数a使z为纯虚数。

总结提升：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程（不等式）组求解。

例题2  （1）设复数z1＝（x－y）＋（x＋3）i，z2＝（3x＋2y）－yi，若z1＝z2，实数x＝________，y＝________。

（2）已知关于x的方程x2＋（1－2i）x＋（3m－i）＝0有实数根，则实数m的值为________，

方程的实根x为________。

解：（1）由复数相等的充要条件得解得

（2）设a是原方程的实根，则a2＋（1－2i）a＋（3m－i）＝0，

即（a2＋a＋3m）－（2a＋1）i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，

所以a＝－且2＋＋3m＝0，所以m＝。

总结提升：（1）根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解；（2）设出方程的实数解，代入原式整理为a＋bi＝0（a，b∈R）的形式解决。

例题3  在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点。

（1）求向量＋和对应的复数；

（2）求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数。

解：（1）由已知得，，所对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，

则＝（1，4），＝（0，－3），＝（2，0），

因此＋＝（1，1），＝－＝（1，－4），

故＋对应的复数为1＋i，对应的复数为1－4i。

（2）法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为（1，4），（0，－3），（2，0），则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，若设D（x0，y0），则有

解得故D（3，7）。

法二：由已知得＝（1，4），＝（0，－3），＝（2，0），所以＝（1，7），＝（2，3），

由平行四边形的性质得＝＋＝（3，10），

所以＝＋＝（3，7），于是D（3，7）。

总结提升：解决复数问题的主要思想方法有：

（1）转化思想：复数问题实数化；

（2）数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；

（3）整体化思想：利用复数的特征整体处理。

例题4　（1）设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝（　　）

A. 1　　　 B.

C.    D. 2

（2）已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z。

解：（1）因为（1＋i）x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B。

（2）设z＝a＋bi（a，b∈R），则|z|＝，

代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，

∴解得

∴z＝－15＋8i。

总结提升：

（1）复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝。

（2）复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离。

（3）转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想。

1. 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，求解参数时，注意考虑问题要全面。

2. 应用复数相等的充要条件时，要注意：必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组。利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要。

3. 从数与形两方面理解复数意义，掌握复数与点和向量的一一对应关系，即：

特别提醒：相等向量对应同一个复数。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 复数i的虚部为（　　）

A. 2　 B. －

C. 2－ D. 0

2. 若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为（　　）  

A. 1 B. 1或－4

C. －4 D. 0或－4

3. 复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）

A. 第一象限　　　 B. 第二象限

C. 第三象限   D. 第四象限

4. 已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是（　　）

A. z1＞z2   B. z1＜z2

C. |z1|＞|z2|   D. |z1|＜|z2|

5. 已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0，1＋2i，3－2i，则的模||等于（　　）

A.  B. 2

C. 4   D.

6. 当＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i在复平面上对应的点位于（　　）

A. 第一象限   B. 第二象限

C. 第三象限   D. 第四象限

7. 如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝（　　）

A. －＋i   B. －i

C. －－i   D. ＋i

8. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为（　　）

A. －2－i   B. －2＋i

C. 1＋2i   D. －1＋2i

9. 已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为（　　）

A. 1   B. 2

C.    D. 3

二、填空题

10. 如果（m2－1）＋（m2－2m）i＞0，求实数m的值为________。

11. 若复数z＝（m2－9）＋（m2＋2m－3）i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________。

12. 设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________。

1. 答案：C

解析：由复数定义知C正确。

2. 答案：C

解析：由复数相等的条件得∴a＝－4。

3. 答案：C

解析：z＝－1－2i对应点Z（－1，－2），位于第三象限。

4. 答案：D

解析：z1，z2不能比较大小，排除选项A，B，又|z1|＝，|z2|＝，故|z1|＜|z2|。

5. 答案：D　

解析：由于OABC是平行四边形，故＝，因此||＝||＝|3－2i|＝。

6. 答案：D　

解析：∵<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴点（3m－2，m－1）在第四象限。

7. 答案：D　

解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i。

8. 答案：B

解析：∵A（－1，2）关于直线y＝－x的对称点B（－2，1），∴向量对应的复数为－2＋i。

9. 答案：D

解析：∵|z|＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z－i|表示圆上一点到点（0，1）的距离，∴|z－i|的最大值为圆上点（0，－2）到点（0，1）的距离，易知此距离为3，故选D。

10. 答案：2

解析：∵（m2－1）＋（m2－2m）i＞0，∴（m2－1）＋（m2－2m）i是实数，且符号为正，

∴  ∴

11. 答案：12　

解析：由条件，知所以m＝3，因此z＝12i，故|z|＝12。

12. 答案：±i　

解析：因为z为纯虚数，所以设z＝ai（a∈R，且a≠0），则|z－1|＝|ai－1|＝。

又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，所以a＝±1，即z＝±i。