高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算优秀学案

平面向量线性运算的应用

例题1  已知：任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点。

求证：=（+）。

证明：因为=++，=++，

所以2=+++++。

因为E，F分别为AD，BC的中点，所以=，=，

所以+=，+=0，所以2=+，=（+）。

所以命题成立。

总结提升：

用向量方法解决几何问题的步骤：

例题2　（1）在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小。

（2）帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h。 若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向。

解：（1）如图，两根绳子的拉力之和＋＝，

且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°。

在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，

则∠OAC＝90°，

从而||＝||·cos 30°＝150（N），

||＝||·sin 30°＝150（N），

所以||＝||＝150（N）。

答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N。

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20（km/h），水流的方向为正东，速度为|v2|＝20（km/h），

设帆船行驶的速度为v，

则v＝v1＋v2。

由题意，可得向量v1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10，10），向量v2＝（20，0），

则帆船的行驶速度为

v＝v1＋v2＝（10，10）＋（20，0）＝（30，10），

所以|v|＝＝20（km/h）。

因为tan α＝＝（α为v和v2的夹角，且为锐角），

所以α＝30°，

所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h。

总结提升：

利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算。第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算。

1. 平面向量线性运算在平面几何中的应用

（1）常见问题及处理技巧

（2）用向量方法处理平面几何问题的“三步曲”

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题。

③把运算结果“翻译”成几何关系。

注意：向量是数学中证明几何命题的有效工具之一。在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论。一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题。

向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题。

2. 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题；

（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；

（3）求解参数，即求出数学模型的有关解——理论参数值；

（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题。

（答题时间：30分钟）

1. 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N。

2. 一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min。

3. 一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）

A. 6 N     B. 2 N     C. 2N     D. 2N

4. 人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（　　）

A. v1－v2   B. v1＋v2

C. |v1|－|v2|   D. ||

5. 已知三个力F1＝（－2，－1），F2＝（－3，2），F3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（　　）

A. （－1，－2）   B. （1，－2）

C. （－1，2）   D. （1，2）

6. 已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为（　　）

A. 5N   B. 5 N

C. 10 N   D. 5N

7. 已知作用在点A的三个力f1＝（3，4），f2＝（2，－5），f3＝（3，1），且A（1，1），则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为（　　）

A. （9，1）   B. （1，9）

C. （9，0）   D. （0，9）

8. 河水的流速为5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（　　）

A. 13 m/s   B. 12 m/s

C. 17 m/s   D. 15 m/s

1. 答案：10

解析：设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，

且|F1|＝|F2|。

∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，

∴每根绳子的拉力都为10 N。

2. 答案：3

解析：∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，

|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，

∴|v|＝

＝＝16（km/h）。

∴所需时间t＝＝0. 05（h）＝3（min）。

∴该船到达B处所需的时间为3 min。

3. 答案：C

4. 答案：B

5. 答案：D

解析：∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，

∴F4＝－F1－F2－F3＝－（－2，－1）－（－3，2）－（4，－3）＝（1，2）。故选D。

6. 答案：B

解析：如图，有|F1|＝|F|cos 60°

＝10×＝5（N）

7. 答案：A

解析：f＝f1＋f2＋f3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0），设合力f的终点为P（x，y），

则＝＋f＝（1，1）＋（8，0）＝（9，1）。

8. 答案：A

解析：设小船在静水中的速度为v1，

河水的流速为v2，

v1与v2的合速度为v，

∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，

即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，

合速度v指向对岸，

∴静水速度|v1|＝＝＝13（m/s）。