2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）

这是一份2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科），共24页。
2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）
一、抛择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集，集合，，则　　
A．或 B．或 C． D．
2．（5分）若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部是　　
A． B． C．3 D．
3．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作试验基地，这座城市共享单车的使用量（单位；人次天）分别为，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是　　
A．，，的平均数 B．，，的标准差
C．，，的最大值 D．，，的中位数
4．（5分）已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则　　
A．4 B．32 C．108 D．256
5．（5分）椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则△的面积是　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知曲线，，则下面结论正确的是　　
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的是倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　
A． B． C． D．
8．（5分）设函数，则使得成立的的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．（5分）已知变量，满足，则的取值范围是　　
A．或 B． C． D．或
10．（5分）魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是　　
A． B． C． D．
11．（5分）已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
12．（5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为　　
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．（5分）已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影为　　．
14．（5分）已知函数的图象与直线相切，则实数的值为　　．
15．（5分）已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则该双曲线的离心率为　　．
16．（5分）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为，且满足．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的周长．
18．（12分）如图，在四棱锥中，是等腰直角三角形，且，，，，平面平面，是的三等分点（靠近点处）．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

19．（12分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40


注射疫苗
60


总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（Ⅰ）求列联表中的数据，，，的值；
（Ⅱ）能否有把握认为注射此种疫苗有效？
（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．
附：，．

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
20．（12分）已知抛物线的焦点为，过的直线1与抛物线交于，两点，过，分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为，，为准线上一点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若点为线段的中点，设以线段为直径的圆为圆，判断点与圆的位置关系．
21．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）设，试讨论在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围．
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，求的取值范围．

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、抛择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集，集合，，则　　
A．或 B．或 C． D．
【分析】全集，集合，，则
【解答】解：全集，集合，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2．（5分）若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部是　　
A． B． C．3 D．
【分析】求出，求出，从而求出其虚部即可．
【解答】解：，
故，
其虚部是，
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数，是一道基础题．
3．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作试验基地，这座城市共享单车的使用量（单位；人次天）分别为，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是　　
A．，，的平均数 B．，，的标准差
C．，，的最大值 D．，，的中位数
【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度．
【解答】解：表示一组数据，，的稳定程度是方差或标准差．
故选：．
【点评】本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题．
4．（5分）已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则　　
A．4 B．32 C．108 D．256
【分析】设等比数列的公比为，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，则答案可求．
【解答】解：数列为等比数列，首项，公比设为，
数列满足，且，
即有，
，即，
即有，，
则．
故选：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．
5．（5分）椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则△的面积是　　
A． B． C． D．
【分析】由椭圆方程求得，，的值，然后利用椭圆定义及余弦定理求得，代入三角形面积公式求解．
【解答】解：由椭圆，得，，，
在△中，，
由余弦定理可得：，
则，即，
．
△的面积是．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及焦点三角形问题，往往是考查椭圆定义与余弦定理的应用，是中档题．
6．（5分）已知曲线，，则下面结论正确的是　　
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的是倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【解答】解：，
把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，
再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，
故选：．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　
A． B． C． D．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．
【解答】解：由题意可知，几何体下部是圆锥，上部是四棱柱，
可得：几何体的表面积为：．
故选：．

【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
8．（5分）设函数，则使得成立的的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】求出函数的大小和奇偶性，结合函数的性质去掉对应法则得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：，
，
故是奇函数，
且在递增，
故由，
得：，
则，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题．
9．（5分）已知变量，满足，则的取值范围是　　
A．或 B． C． D．或
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义求解得答案．
【解答】解：由变量，满足作出可行域如图：解得，
的几何意义为可行域内动点与定点连线的斜率．
，．的斜率为：，
的取值范围是或．
故选：．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
10．（5分）魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，依次分析6个函数的奇偶性，由组合数公式计算在6个函数中任选2个的选法数目，又由“若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数”，计算可得乘积为奇函数的情况数目，由古典概型的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于6个函数，
，为正比例函数，为奇函数；
，为指数函数，为非奇非偶函数函数；
，为二次函数，为偶函数；
，为正弦函数，是奇函数；
，为余弦函数，是偶函数；
，有，为奇函数；
在6个函数中任选2个，有种选法，
若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数，有种选法；
则所得新函数为奇函数的概率；
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，涉及古典概型的计算，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．
11．（5分）已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由，得，再由，可得为首项是9，公比为的等比数列，求出通项，得到，代入不等式求解．
【解答】解：由，得，
又，，．
为首项是9，公比为的等比数列，
则，，
，
则，，
即，解得，
满足不等式的最小整数是10．
故选：．
【点评】本题考查由递推式求数列通项、数列求和及不等式等有关知识，解决本题的关键是通过构造数列求得，是中档题．
12．（5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为　　
A． B． C． D．
【分析】设球的半径为，由已知条件得出和是两个公共斜边的等腰直角三角形，以及证明平面，进而用表示三棱锥的体积，得出与的关系，即可得出球的体积．
【解答】解：如下图所示，

设球的半径为，由于是球的直径，则和都是直角，
由于，，所以，和是两个公共斜边的等腰直角三角形，
且的面积为，
，为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面，所以，平面，
所以，三棱锥的体积为，
因此，球的体积为，
故选：．
【点评】本题考查球的体积的计算，解决本题的关键主要找出球的直径，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．（5分）已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影为　　．
【分析】运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题．
【解答】解：根据题意得，；
；，
，
在方向上的投影为；
故答案为．
【点评】本题考查向量的夹角，投影的概念．
14．（5分）已知函数的图象与直线相切，则实数的值为　　．
【分析】求出函数的导数，根据切线的斜率求出的值即可．
【解答】解：由，得，
设切点横坐标为，依题意得，并且，
解得；
则实数的值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了切线斜率问题，考查函数的切线方程的求法，是基本知识的考查．
15．（5分）已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则该双曲线的离心率为　　．
【分析】由题意得右焦点，设一渐近线的方程为，则另一渐近线的方程为，由垂直的条件可得的方程，代入渐近线方程，可得，的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得离心率．
【解答】解：由题意得右焦点，
设一渐近线的方程为，
则另一渐近线的方程为，
由的方程为，
联立方程，
可得横坐标为，
由的方程为，联立方程，
可得的横坐标为．
由，
可得，
即为，
由，可得，
即有，
解得或1（舍去），
即有，
故答案为：．

【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点、的横坐标是解题的关键．
16．（5分）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　，　．
【分析】讨论，，，由参数分离和正弦函数的值域、二次函数的最值求法，即可得到所求范围．
【解答】解：当时，恒成立；
当时，，
由，可得时，取得最小值，
时，取得最大值2，
即有，解得；
当时，可得，
即有，解得，
综上可得的范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和参数分离，考查正弦函数的值域和不等式的解法，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为，且满足．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的周长．
【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得，由正弦定理即可计算得解．
（Ⅱ）利用两角和的余弦函数公式根据已知可求的值，由（Ⅰ）可得的值，由余弦定理可得，即可计算得解的周长的值．
【解答】解：（Ⅰ）的面积为，．
，
，
由正弦定理可得：；
（Ⅱ），，
，
，可得：，
由余弦定理可得：，解得：，
的周长．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥中，是等腰直角三角形，且，，，，平面平面，是的三等分点（靠近点处）．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

【分析】（Ⅰ）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．
（Ⅱ）推导出，到平面的距离，三棱锥的体积，由此能求出结果．
【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥中，是等腰直角三角形，且，，，，
平面平面，是的三等分点（靠近点处）．
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，2，，，0，，，，，，4，，，0，，，4，，
，2，，，4，，，，，，4，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
，平面平面．
解：（Ⅱ），
到平面的距离，
三棱锥的体积：
．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．（12分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40


注射疫苗
60


总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（Ⅰ）求列联表中的数据，，，的值；
（Ⅱ）能否有把握认为注射此种疫苗有效？
（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．
附：，．

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（Ⅰ）根据题意列方程求出的值，再计算、和的值；
（Ⅱ）由列联表中的数据计算，对照临界值得出结论；
（Ⅲ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
【解答】解：（Ⅰ）从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，
则未感染的为，即，解得，
；
，；
（Ⅱ）由列联表中数据，计算，
有把握认为注射此种疫苗有效；
（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只，
未注射疫苗的有3只，记为、、，注射疫苗的有2只，记为、，
从这5只小白鼠中随机抽取3只，基本事件为：
、、、、、、、、、共10种不同的取法，
则至少抽到2只为未注射疫苗的基本事件是、、、、、、共7种，
故所求的概率为．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
20．（12分）已知抛物线的焦点为，过的直线1与抛物线交于，两点，过，分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为，，为准线上一点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若点为线段的中点，设以线段为直径的圆为圆，判断点与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ） 设的方程为．，，，，
可得，直线的方程为，可得，求得点是的中点即可．
（Ⅱ）由抛物线定义可得．即点在圆上．
【解答】解（Ⅰ） 设的方程为．，，，，
可得
由 得，可知，．
可知，，，

，直线的方程为，
令可得，
点是的中点，；

（Ⅱ）点为线段的中点，以线段为直径的圆为圆，．
由抛物线定义可得．
点在圆上．
【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，属于中档题．
21．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）设，试讨论在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ），求其导函数，然后分，，三类研究函数的单调性；
（Ⅱ）函数的图象恒在函数图象的上方，即．结合（Ⅰ）可知，当时，在上为增函数，当时，，不合题意；再分别求出时与时函数在上的最小值，由最小值大于0求解的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
．
当时，，函数在上为增函数；
当时，由，得，
则当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得，
则当，时，，当，时，，
在，上单调递减，在，上单调递增．
（Ⅱ）函数的图象恒在函数图象的上方，
即．
由（Ⅰ）知，当时，在上为增函数，
当时，，不合题意；
当时，在上的最小值为
．
由，得，即；
当时，在上的最小值为
．
由，得．
若函数的图象恒在函数图象的上方，
则的取值范围为，，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，属难题．
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积．
【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换和图象的旋转问题求出结果．
（Ⅱ）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】1解：（Ⅰ）知曲线，
整理得：，
转换为极坐标方程为：，
是曲线上的动点，以极点为中心，
将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线．
所以得到的直角坐标方程为：，
转换为极坐标方程为：．
（Ⅱ）由于射线与曲线，分别交于，两点，
则：，
，
所以：，
，
所以：．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）代入的值，得到关于的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）问题转化为恒成立，故时，恒成立，时，，求出的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）时，，
故或或，
解得：或，
故不等式的解集是，，；
（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，
则恒成立，
故时，恒成立，
故，解得：，
时，，解得：，
综上，．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/3 23:08:50；用户：高中数学1；邮箱：jt0017@xyh.com；学号：24416196