2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）

这是一份2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科），共24页。

2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，0，1，，，则　　
A．， B．， C．，0， D．，1，
2．（5分）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为　　
A． B． C．4 D．1
3．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85．则的值为　　

A．10 B．12 C．13 D．15
4．（5分）若是等比数列的前项和，，，成等差数列，且，则　　
A． B． C．4 D．12
5．（5分）如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为的等腰△，则这个多面体最长一条棱长为　　

A． B． C． D．
6．（5分）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是　　
A．， B． C． D．，
7．（5分）如图，在中，，若在边上存在点，使成立，则　　

A． B．12 C． D．8
8．（5分）若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是　　
A．6 B．2 C．8 D．4
9．（5分）如图，圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是　　

A． B． C． D．
10．（5分）双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
11．（5分）已知正三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是　　

A． B． C． D．
12．（5分）定义在上的函数满足，（2），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知实数，满足约束条件，若，则实数的最大值是　　．
14．（5分）是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和　　．
15．（5分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 　 　种．
16．（5分）在中，三个内角，，的对边分别为，，，若，且，，则面积为　 　．
三、解答题：本大题共70分。解答题应写岀文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）在数列和等比数列中，，，．
（Ⅰ）求数列及的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦的大小．

19．（12分）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：

其中参加跑步类的人数所占频率为，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．
（Ⅰ）求条形图中和的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；
（Ⅱ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为，求离散型随机变量的分布列与数学期望．
20．（12分）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，对任意，，，都有成立，求实数的取值范围．
请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修44：坐标系与参数方程]
22．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）直线为参数）与曲线交于，两点，与轴交于，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数，
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，0，1，，，则　　
A．， B．， C．，0， D．，1，
【分析】化简集合，再求即可．
【解答】解：集合，，0，1，，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．
2．（5分）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为　　
A． B． C．4 D．1
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：复数是纯虚数，
，解得．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85．则的值为　　

A．10 B．12 C．13 D．15
【分析】由平均数和中位数的定义求出、的值．
【解答】解：甲班学生的平均分是84，
即，
解得，
又乙班学生成绩的中位数是85，；
．
故选：．
【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数和平均数的应用问题，是基础题．
4．（5分）若是等比数列的前项和，，，成等差数列，且，则　　
A． B． C．4 D．12
【分析】由题意可得：等比数列的，由，，成等差数列，且，可得，且，可得，．解出即可得出．
【解答】解：由题意可得：等比数列的，，，成等差数列，且，
，且，
，．
解得：，．
则．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为的等腰△，则这个多面体最长一条棱长为　　

A． B． C． D．
【分析】根据三视图可知几何体是三棱锥，并求出棱长、判断出线面的位置关系，判断出最长的棱，再由勾股定理求解．
【解答】解：根据三视图可知几何体是三棱锥，
且平面，，
三视图都是斜边长为的等腰直角三角形，
，则是最长的棱，且，
故选：．

【点评】本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
6．（5分）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是　　
A．， B． C． D．，
【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数，，都有恒成立”转换成当时，恒成立，然后利用参变量分离的方法求出的范围即可．
【解答】解：对任意两个不等的正实数，，都有恒成立
则当时，恒成立
在上恒成立
则
故选：．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．
7．（5分）如图，在中，，若在边上存在点，使成立，则　　

A． B．12 C． D．8
【分析】利用等腰取中点，得到在上的投影，得解．
【解答】解：取中点，连接，
，
，


，
故选：．

【点评】此题考查了向量数量积，投影的概念，难度不大．
8．（5分）若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是　　
A．6 B．2 C．8 D．4
【分析】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得，解之可得值，进而可得所求．
【解答】解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为6的点到准线的距离等于8，
即，解之可得
故焦点到准线的距离为
故选：．
【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．
9．（5分）如图，圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是　　

A． B． C． D．
【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线与轴围成的区域记为的面积为，代入几何概率的计算公式可求．
【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为
正弦曲线与轴围成的区域记为，
根据图形的对称性得：面积为，
由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率
故选：．
【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题，具有一定的综合性．
10．（5分）双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由，，的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得，，，，
，，
且，菱形的边长为，
由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，，，．
由面积相等，可得，
即为，
即有，
由，可得，
解得，
可得，或（舍去）．
故选：．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
11．（5分）已知正三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是　　

A． B． C． D．
【分析】设正的中心为，连结．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．
【解答】解：设正的中心为，连结
是正的中心，、、三点都在球面上，
平面，球的半径，球心到平面的距离为1，得，
△中，．
又为的中点，是等边三角形，．
过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，
当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径，
可得截面面积为．
故选：．
【点评】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．
12．（5分）定义在上的函数满足，（2），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【分析】令，求出函数的单调性，结合（2），将不等式转化为（2），求出的范围即可．
【解答】解：令，
则，
故在单调递增，
而（2）（2），
由，
得（2），
，即．
不等式的解集为．
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知实数，满足约束条件，若，则实数的最大值是　　．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由得，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，
此时最大，
由，得．
代入目标函数，
得，
故答案为：．

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
14．（5分）是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和　0　．
【分析】，化简可得，可得，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】解：，化简可得，
即，．
，
，
，
，
故答案为：0
【点评】本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 　20　种．
【分析】本题是一个分类计数问题，根据甲安排在另外两位前面可以分三类：甲安排在周一，甲安排在周二，甲安排在周三，写出这三种情况的排列数，根据加法原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
根据题意分三类：甲安排在周一，共有种排法；
甲安排在周二，共有种排法；
甲安排在周三，共有种排法．
根据分类加法原理知共有．
故答案为：20
【点评】本题考查分类计数问题，解题时一定要分清完成这件事需要分为几类，每一类有几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果，本题是一个基础题．
16．（5分）在中，三个内角，，的对边分别为，，，若，且，，则面积为　　．
【分析】由题意首先求得角的大小，然后结合余弦定理和三角形面积公式整理计算即可求得最终结果．
【解答】解：由题意可得：
，，，
利用余弦定理有：，
结合 可得：，
则的面积：．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
三、解答题：本大题共70分。解答题应写岀文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）在数列和等比数列中，，，．
（Ⅰ）求数列及的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）先求出公比，可得数列的通项，从而可求的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，，（2分）
设数列的公比为，由，可知，（3分）
由，得，又，则，（4分）
故，（5分）
又由，得．（6分）
（Ⅱ）依题意．（7分），①
则②（9分）
①②得，（11分）
即，故．（12分）
【点评】本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等．
18．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦的大小．

【分析】（Ⅰ）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，根据题意可知是与平面所成的角，根据勾股定理可知，根据线面垂直的性质可知，而满足定理所需条件；
（Ⅱ）设为的中点，连接，根据，，则是二面角的平面角，在中，求出二面角的余弦即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为底面，
所以，是与平面所成的角（1分）
由已知，所以易求得，，（3分）
又因为，所以，所以．（4分）
因为底面，平面，
所以，（5分）
由于所以平面．（6分）

（Ⅱ）设为的中点，连接，（7分）
由于底面，且平面，
则平面平面（8分）
，平面，平面，．
过作，垂足为，连接，则面．
又面，，是二面角的平面角．（10分）
容易证明，则．
因为，，，
所以．（12分）
在中，因为，，
所以．（13分）
所以二面角的余弦为．（14分）

【点评】本题主要考查了线面垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了空间想象能力以及转化与划归的思想，属于中档题．
19．（12分）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：

其中参加跑步类的人数所占频率为，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．
（Ⅰ）求条形图中和的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；
（Ⅱ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为，求离散型随机变量的分布列与数学期望．
【分析】（Ⅰ）由题意参加跑步类的有420人，从而求出，，根据分层抽样法能求出抽取的13人中参加200米的学生人数．
（Ⅱ）抽取的13人中参加400米的学生人数有4人，参加跳绳的学生人数有3人，从而的所有可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出离散型随机变量的分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得参加跑步类的有：
，
，
，
根据分层抽样法知：
抽取的13人中参加200米的学生人数有：人．
（Ⅱ）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有，
参加跳绳的学生人数有3人，所以的所有可能取值为1、2、3、4，（6分）
，
，
，
，（9分）
所以离散型随机变量的分布列为：

1
2
3
4





（11分）
所以．（12分）
【点评】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12分）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用已知条件推出，然后求解椭圆的方程．
（2）当直线的斜率存在时，设直线，通过联立，通过韦达定理，假设轴上存在定点，，使得为定值，转化求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，，解得，
则椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设直线，
联立，得，△，
．
假设轴上存在定点，，使得为定值，



．
要使为定值，则的值与无关，，
解得，此时为定值，定点为．
当直线的斜率不存在时，也满足条件．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，对任意，，，都有成立，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）原问题等价于，成立，可得（1），可得（e），即，
设（b），，可得（b）在单调递增，且（1），即可得不等式的解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为．
当时，，所以．
①当时，，所以函数在上单调递增．
②当时，令，解得：，
当时，，所以函数在，上单调递减；
当时，，所以函数在，上单调递增．
综上所述，当，时，函数在上单调递增；
当，时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．
（Ⅱ）对任意，，，有成立，
，
，成立，
，时，．．
当时，，当时，，
在，单调递减，在，单调递增，
（1），，（e），
设（b）（e），，（b）．
（b）在递增，（b），（e）．
可得（e），
，即，
设（b），，（b）在恒成立．
（b）在单调递增，且（1），
不等式的解集为，．
实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．
请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修44：坐标系与参数方程]
22．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）直线为参数）与曲线交于，两点，与轴交于，求的值．
【分析】（1）将极坐标方程两边同乘，进而根据，，，可求出的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，求出对应的值，根据参数的几何意义，求出的值．
【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为


即（5分）
（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
得，
所以．（10分）
【点评】本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数，
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当时，由不等式可得，两边平方整理得，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．
（Ⅱ）由 得，令，则，求得的最小值，即可得到从而所求实数的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，由得，两边平方整理得，
解得 或，原不等式的解集为，，．
（Ⅱ）由 得，令，即，
故，故可得到所求实数的范围为，．
【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．
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日期：2019/5/3 23:37:37；用户：高中数学1；邮箱：jt0017@xyh.com；学号：24416196