数学九年级下册26.2 实际问题与反比例函数公开课ppt课件
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26.2 实际问题与反比例函数
第2课时 其他学科中的反比例函数
学习目标:1. 通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究,使学生体会数学建模思想和学以致用的数学理念,并能从函数的观点来解决一些实际问题. (重点)
2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想. (重点、难点)
一、知识链接
公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说,杠杆原理为:阻力×阻力臂=动力×动力臂.试在下图中标出对应的量.
一、要点探究
探究点1:反比例函数在其他学科中的应用
【典例精析】
例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少?
想一想:在物理中,我们知道,在阻力和阻力臂一定的情况下,动力臂越长就越省力,你能用反比例函数的知识对其进行解释吗?
【针对训练】假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力),阿基米德有 500 牛顿的力量,阻力臂为 2000 千米,请你帮助阿基米德设计,该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动?
例2 某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力F一定时,随着木板面积 S (m2)的变化,人和木板对地面的压强 p (Pa)也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力F合计为 600 N,那么
(1) 用含 S 的代数式表示 p,p 是 S 的反比例函数吗?为什么?
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时,压强是多少?
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa,木板面积至少要多大?
(4) 在直角坐标系中,作出相应的函数图象.
【针对训练】某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示.若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300 N/m2,那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) ( )
A. 至少2m2 B. 至多2m2 C. 大于2m2 D. 小于2m2
例3 一个用电器的电阻是可调节的,其范围为 110~220 Ω. 已知电压为 220 V,这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
(2) 这个用电器功率的范围是多少?
【针对训练】1. 在公式中,当电压 U 一定时,电流 I 与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为( )
2. 在某一电路中,保持电压不变,电流 I (安培) 和电阻R (欧姆) 成反比例,当电阻 R=5 欧姆时,电流 I=2安培.
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式;
(2) 当电流 I=0.5 时,求电阻 R 的值.
二、课堂小结
1. 当电压为 220 V 时 (电压=电流×电阻),通过电路的电流 I (A) 与电路中的电阻 R (Ω) 之间的函数关系为( )
A. B. I=220R C. D. R=220I
2. 某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数,其图象如图所示,当气球内的气压大于120 kPa 时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( )
A. B. C. D.
3. 受条件限制,无法得知撬石头时的阻力,小刚选择了动力臂为 1.2米 的撬棍,用了 500 牛顿的力刚好撬动;小明身体瘦小,只有 300 牛顿的力量, 他该选择动力臂为 的撬棍才能撬动这块大石头.
4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ (单位:kg/m3) 是体积 V (单位: m3) 的反比例函数,它的图象如图所示,当 V =10 m3 时,气体的密度是 .
5. 蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流 I (A) 是电阻 R (Ω) 的反比例函数,其图象如图所示.
(1) 求这个反比例函数的表达式;
(2) 当 R =10 Ω 时,电流能是 4 A 吗?为什么?
6. 某汽车的功率 P 为一定值,汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如下图所示:
(1) 这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表达式;
(2) 当它所受牵引力为1200 N时,汽车的速度为多少千米每小时?
(3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s,则 F 在什么范围内?
参考答案
自主学习
一、知识链接
解:如图所示:
合作探究
一、要点探究
探究点1:反比例函数在其他学科中的应用
【典例精析】
例1 解:(1)根据“杠杆原理”,得 Fl =1200×0.5,∴ F 关于l 的函数解析式为
对于函数,当 l =1.5 m时,F =400 N,此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400 N的力.
(2)当F=400×=200 时,由200 =,得l=3,3-1.5 =1.5 (m).
对于函数,当 l >0 时,l 越大,F越小.
因此,若想用力不超过 400 N 的一半,则动力臂至少要加长 1.5 m.
【针对训练】解: 2000 千米 = 2×106 米,
由已知得F×l=6×1025×2×106 =1.2×1032 ,
变形,得:
当 F =500时,l =2.4×1029 米,
故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.
例2 解:(1)由,得,
p 是 S 的反比例函数,因为给定一个 S 的值,就有唯一的一个 p 值和它对应,根据反比例函数定义,得出 p 是 S 的反比例函数.
(2)当 S =0.2 m2 时,.
故当木板面积为0.2 m2时,压强是3000 Pa.
(3)当 p=6000 时,由,得S=0.1.
对于函数,当 S >0 时,S 越大,p 越小. 因此,若要求压强不超过 6000 Pa,则木板面积至少要 0.1 m2.
(4)如图所示.
【针对训练】 C
例3 解:(1)根据电学知识,当 U = 220 时,得.
(2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式,得到功率的最大值;
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式,得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为220~440 W.
【针对训练】1. D
2. 解:(1) 设,∵ 当电阻 R = 5 欧姆时,电流 I = 2 安培,∴ U =10.
∴ I 与 R 之间的函数关系式为
(2) 当I = 0.5 安培时,,解得 R = 20 (欧姆).
当堂检测
1. A 2. C 3. 2米 4. 1 kg/m3
5. 解:(1)设,把 M (4,9) 代入得k =4×9=36.
∴ 这个反比例函数的表达式为.
(2)当 R=10 Ω 时,I = 3.6 ≠ 4,∴电流不可能是4 A.
6. 解:(1)
(2)把 F = 1200 N 代入求得的解析式,得 v = 50,
∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m.
(3)F ≥ 2000 N.
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