高中物理人教版 (新课标)选修3选修3-1第三章 磁场6 带电粒子在匀强磁场中的运动学案设计

6　带电粒子在匀强磁场中的运动

1．洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中运动

2.带电粒子在匀强磁场中的运动

(1)洛伦兹力的作用效果

①洛伦兹力不改变(A.改变　B．不改变)带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对(A.对　B．不对)带电粒子做功，不改变(A.改变　B．不改变)粒子的能量．

②洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了充当向心力的作用．

(2)运动规律

带电粒子沿着与磁场垂直方向射入匀强磁场中做匀速圆周运动．qvB＝m.

①轨道半径：r＝.

②运动周期：T＝.

1．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径，与粒子的质量和速度无关．(×)

2．运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动．(√)

3．运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀加速直线运动，不可能做匀速直线运动．(×)

带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动，这时公式r＝是否成立？

【提示】　成立．在非匀强磁场中，随着B的变化，粒子轨迹的圆心、半径不断变化，但粒子运动到某位置的半径仍由B、q、v、m决定，仍满足r＝.

如图3­6­1所示，磁感应强度为B的匀强磁场左、右边缘平行，磁场的宽度为d，正粒子射入磁场的速度方向与左边缘夹角为θ，已知，粒子质量为m、带电荷量为q，与磁场右侧边界恰好相切．

图3­6­1

探讨1：如何确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心？

【提示】　作入射方向(过入射点)和右侧边界(切点处)的垂线，两垂线的交点即为圆心．

探讨2：粒子作匀速圆周的半径是多大？

【提示】　r＝.

探讨3：粒子射入磁场的速度是多大？

【提示】　v＝.

1．匀速圆周运动的轨道半径和周期

质量为m电荷量为q的带电粒子，垂直磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，

(1)若不计粒子重力，运动电荷只受洛伦兹力作用，由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，可得r＝.

(2)由轨道半径与周期的关系可得：T＝＝＝.

2．有界磁场内部分圆周轨迹的分析方法

(1)轨迹圆心的两种确定方法．

①已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度的垂线，交点即为圆心，如图3­6­2所示．

图3­6­2

②已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度的垂线，则弦的中垂线与速度的垂线的交点即为圆心，如图3­3­3所示．

图3­6­3

(2)三种求半径的方法．

①根据半径公式r＝求解．

②根据勾股定理求解，如图3­6­4所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2.

图3­6­4

③根据三角函数求解，如图3­6­4所示，若已知出射速度方向与水平方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝.

(3)四种角度关系．

①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)．

②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)．

③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°，如图3­6­5所示．

图3­6­5

④进出同一直边界时速度方向与该直边界的夹角相等．

(4)两种求时间的方法．

①利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝T.

②利用弧长s和速度v求解，t＝.

1．如图3­6­6所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　)

图3­6­6

A．沿路径a运动，轨迹是圆

B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大

C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小

D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小

【解析】　由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲．又由r＝知，B减小，r越来越大，故电子的径迹是a.故选B.

【答案】　B

2．如图3­6­7所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)(　　)

【导学号：34522042】

图3­6­7

A. B.

C. D.

【解析】　本题应从带电粒子在磁场中的圆周运动角度入手并结合数学知识解决问题．

带电粒子从距离ab为处射入磁场，且射出时与射入时速度方向的夹角为60°，粒子运动轨迹如图，ce为射入速度所在直线，d为射出点，射出速度反向延长交ce于f点，磁场区域圆心为O，带电粒子所做圆周运动圆心为O′，则O、f、O′在一条直线上，由几何关系得带电粒子所做圆周运动的轨迹半径为R，由F洛＝Fn得qvB＝，解得v＝，选项B正确．

【答案】　B

带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动问题的解题技巧

(1)画轨迹：先定圆心，再画完整圆弧，后补画磁场边界最后确定粒子在磁场中的轨迹(部分圆弧)．

(2)找联系：r与B、v有关，如果题目要求计算速率v，一般要先计算r、t与角度和周期T有关，如果题目要求计算粒子在磁场中运动的时间t，一般要先计算粒子在磁场中运动的部分圆弧所对应的圆心角和粒子的周期．

(3)用规律：根据几何关系求半径和圆心角，再根据半径和周期公式与B、v等联系在一起．

1．质谱仪

(1)原理图：如图3­6­8所示．

图3­6­8

(2)加速

带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：qU＝mv2.①

(3)偏转

带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝.②

(4)由①②两式可以求出粒子的运动半径r、质量m、比荷等．其中由r＝ 可知电荷量相同时，半径              将随质量变化．

(5)质谱仪的应用

可以测定带电粒子的质量和分析同位素．

2．回旋加速器的结构

两个中空的半圆金属盒D1和D2，处于与盒面垂直的匀强磁场中，D1和D2间有一定的电势差，如图3­6­9所示．

图3­6­9

1．回旋加速器的半径越大，带电粒子获得的最大动能就越大．(√)

2．利用回旋加速器加速带电粒子，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径R.(√)

3．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关．(√)

回旋加速器所用交流电压的周期由什么决定？

【提示】　为了保证每次带电粒子经过狭缝时均被加速，使之能量不断提高，交流电压的周期必须等于带电粒子在回旋加速器中做匀速圆周运动的周期，即T＝.  因此，交流电压的周期由带电粒子的质量m、带电粒子的带电量q和加速器中的磁场的磁感应强度B来决定．

如图3­6­10所示，为回旋加速器原理图．

图3­6­10

探讨1：回旋加速器所加的电场和磁场各起什么作用？电场为什么是交变电场？

【提示】　电场对电荷加速，磁场使电荷偏转，为了使粒子每次经过D形盒的缝隙时都被加速，需加上与它圆周运动周期相同的交变电场．

探讨2：粒子每次经过D形盒狭缝时，电场力做功多少一样吗？

【提示】　一样．

探讨3：粒子经回旋加速器加速后，最终获得的动能与交变电压大小有无关系？

【提示】　无关．

1．磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动．其周期在q、m、B不变的情况下与速度和轨道半径无关，带电粒子每次进入D形盒都运动半个周期后平行电场方向进入电场加速．如图3­6­11所示．

图3­6­11

2．电场的作用：回旋加速器的两个D形盒之间的狭缝区域存在周期性变化的且垂直于两个D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速．根据动能定理：qU＝ΔEk.

3．交变电压的作用：为保证粒子每次经过狭缝时都被加速，使之能量不断提高，需在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压．

4．带电粒子的最终能量：由r＝知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝.

可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R.

5．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器中被加速的次数n＝(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次．

6．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝T＝(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2.

3．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图3­6­12所示，其中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍．此离子和质子的质量比约为(　　)

【导学号：34522043】

图3­6­12

A．11 B．12

C．121 D．144

【解析】　带电粒子在加速电场中运动时，有qU＝mv2，在磁场中偏转时，其半径r＝，由以上两式整理得：r＝.由于质子与一价正离子的电荷量相同，B1∶B2＝1∶12，当半径相等时，解得：＝144，选项D正确．

【答案】　D

4．回旋加速器D形盒中央为质子流，D形盒的交流电压为U，静止质子经电场加速后，进入D形盒，其最大轨道半径为R，磁场的磁感应强度为B，质子质量为m、电荷量为e.求：

(1)质子最初进入D形盒的动能；

(2)质子经回旋加速器最后得到的动能；

(3)交流电源的周期．

【解析】　(1)质子在电场中加速，由动能定理得：

eU＝Ek－0，解得：Ek＝eU.

(2)由R＝，Ekm＝mv可解得质子的最大动能：

Ekm＝.

(3)交变电源的周期与质子圆周运动的周期相同，故交变电源的周期T＝.

【答案】　(1)eU　(2)　(3)

分析回旋加速器问题的两个误区

(1)误认为交变电压的周期随粒子轨迹半径的变化而变化，实际上交变电压的周期是不变的．

(2)误认为粒子的最终能量与加速电压的大小有关，实际上，粒子的最终能量由磁感应强度B和D形盒的半径决定，与加速电压的大小无关．