人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算优质ppt课件

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7.2　复数的四则运算
7.2.2　复数的乘、除运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i　
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
复数代数形式的除法法则
[知识解读]　1．对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.(3)常用结论①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.
2．对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1)　　B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)　　D．(－1，＋∞)[分析]　利用乘法公式进行运算.[解析]　(1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．故|z2－2z|＝|－2|＝2．故选D．
[归纳提升]　两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开；(2)再将i2换成－1；(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
【对点练习】❶　(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)A．2－13i　　B．13＋2iC．13－13i　　D．－13－2i(2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)A．i(1＋i)2　　B．i2(1－i)C．(1＋i)2　　D．i(1＋i)
[解析]　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D．(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.故选C．
[分析]　复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行.
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.(1)求实数a，b的值；(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.[分析]　解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0．设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
[归纳提升]　(1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根.(2)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.
【对点练习】❸　(1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　　)A．－3＋2i　　B．3＋2iC．－2＋3i　　D．2＋3i(2)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值.
　已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，求复数z.[错解]　由z2－|z|－6＝0⇒(|z|－3)(|z|＋2)＝0．因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3．则在复平面内以原点为圆心，3为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求.[错因分析]　本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2．
[误区警示]　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆.
【对点练习】❹　(2019·湖南省长沙市检测)已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部(　　)A．不小于0　　B．不大于0C．大于0　　D．小于0