人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直一等奖课件ppt

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直一等奖课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了素养目标·定方向，必备知识·探新知，异面直线所成的角，知识点1，°≤α≤90°，空间两直线垂直，知识点2，a⊥b，关键能力·攻重难，典例1等内容，欢迎下载使用。

8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线______与______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)空间两条直线所成角α的取值范围：_______________.
如果两条异面直线所成的角是_______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作_______.
[知识解读]　对异面直线所成的角的认识理解的注意点(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关.(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
[归纳提升]　求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1．
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1．[归纳提升]　(1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.
【对点练习】❷　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.
[证明]　如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE，CE，易证AE＝CE，又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
　(2020·湖南省永州市期末)如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.
忽略异面直线所成的角的范围致误
[错解]　如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角.由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.
[错因分析]　解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解.事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.[正解]　以上解答同错解；∵异面直角所成角θ∈(0,90°]，∴BC与AD所成的角为60°.
[误区警示]　求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°<θ≤90°.两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【对点练习】❸　若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_______.