2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》五 教师版

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LISTNUM OutlineDefault \l 3 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，an＋1=3Sn＋1，n∈N*.


(1)求数列{an}的通项公式；


(2)记Tn为数列{n＋an}的前n项和，求Tn.


【答案解析】解：


(1)由an＋1=3Sn＋1，


得当n≥2时，an=3Sn－1＋1，


两式相减，得an＋1=4an(n≥2)．


又a1=1，a2=4，eq \f(a2,a1)=4，


所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，


所以数列{an}的通项公式是an=4n－1(n∈N*)．


(2)Tn=(1＋a1)＋(2＋a2)＋(3＋a3)＋…＋(n＋an)


=(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋42＋…＋4n－1)


=eq \f(n1＋n,2)＋eq \f(1×1－4n,1－4)=eq \f(n＋n2,2)＋eq \f(4n－1,3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足.


(1)求数列{an}的通项公式；


(2)求数列{bn}的前n项和Tn.


【答案解析】解:





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．


(1)求数列{an}的通项公式；


(2)设bn=2an，Tn=b1＋b2＋…＋bn，求Tn.


【答案解析】解：


(1)设等差数列{an}的公差为d，


则依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,a1＋3d2＝a1＋da1＋7d，))


解得d=1或d=0(舍去)，∴an=1＋(n－1)=n.


(2)由(1)得an=n，∴bn=2n，


∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，


∴Tn=eq \f(21－2n,1－2)=2n＋1－2.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知{an}为公差不为零的等差数列，首项a1=a，{an}的部分项...恰为等比数列，且k1=1，k2=5，k3=17．


(1)求数列{an}的通项公式an(用a表示)；


(2)设数列{kn}的前n项和为Sn，求证：(n是正整数)．


【答案解析】








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等差数列{an}的公差为2，且， ， 成等比数列.


（1）求数列{an}的通项公式；


（2）设数列的前项和为，求证： .


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.


（1）求数列{an}的通项公式；


（2）设数列{bn}满足，若数列{bn}前n项和Tn，证明.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70且a1，a2，a6成等比数列．


(1)求数列{an}的通项公式；


(2)设，求数列{}前的n项和Tn．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3=12，b3=a4－2a1，S11=11b4.


(1)求{an}和{bn}的通项公式；


(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．


【答案解析】解：


(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.


由已知b2＋b3=12，得b1(q＋q2)=12，


而b1=2，所以q2＋q－6=0.


又因为q＞0，解得q=2.


所以bn=2n.


由b3=a4－2a1，可得3d－a1=8.①


由S11=11b4，可得a1＋5d=16.②


由①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n－2.


所以数列{an}的通项公式为an=3n－2，数列{bn}的通项公式为bn=2n.


(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，


由a2n=6n－2，b2n－1=2×4n－1，


得a2nb2n－1=(3n－1)×4n，


故Tn=2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，


4Tn=2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，


上述两式相减，得


－3Tn=2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1


=eq \f(12×1－4n,1－4)－4－(3n－1)×4n＋1


=－(3n－2)×4n＋1－8.


故Tn=eq \f(3n－2,3)×4n＋1＋eq \f(8,3).


所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为eq \f(3n－2,3)×4n＋1＋eq \f(8,3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}是等差数列，a2=6，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，b2=2，a1b3=12，S3＋b1=19.


(1)求{an}，{bn}的通项公式；


(2)求数列{bncs(anπ)}的前n项和Tn.


【答案解析】解：


(1)∵数列{an}是等差数列，a2=6，


∴S3＋b1=3a2＋b1=18＋b1=19，


∴b1=1，


∵b2=2，数列{bn}是等比数列，


∴bn=2n-1.


∴b3=4，


∵a1b3=12，∴a1=3，


∵a2=6，数列{an}是等差数列，


∴an=3n.


(2)设Cn=bncs(anπ)，由(1)得Cn=bncs(anπ)=(-1)n2n-1，


则Cn＋1=(-1)n＋12n，∴eq \f(Cn＋1,Cn)=-2，


又C1=-1，


∴数列{bncs(anπ)}是以-1为首项、-2为公比的等比数列．


∴Tn=eq \f(－1×[1－－2n],1－－2)=eq \f(1,3)[(-2)n-1]．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}是公比不为的等比数列，a1=1，且成等差数列.


（Ⅰ）求数列{an}的通项;


（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为，试求的最大值.


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2＋4，数列{bn}中，bn=eq \f(1＋an,an).


(1)求公差d的值；


(2)若a1=－eq \f(5,2)，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；


(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．


【答案解析】解：


(1)∵S4=2S2＋4，∴4a1＋eq \f(3×4,2)d=2(2a1＋d)＋4，解得d=1.


(2)∵a1=－eq \f(5,2)，∴数列{an}的通项公式为an=－eq \f(5,2)＋(n－1)=n－eq \f(7,2)，


∴bn=1＋eq \f(1,an)=1＋eq \f(1,n－\f(7,2)).


∵函数f(x)=1＋eq \f(1,x－\f(7,2))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞))上分别是单调减函数，


∴b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，


∴数列{bn}中的最大项是b4=3，最小项是b3=－1.


(3)由bn=1＋eq \f(1,an)，得bn=1＋eq \f(1,n＋a1－1).


又函数f(x)=1＋eq \f(1,x＋a1－1)在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，


且x＜1－a1时，y＜1；当x＞1－a1时，y＞1.


∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，


∴7＜1－a1＜8，∴－7＜a1＜－6，


∴a1的取值范围是(－7，－6)．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列的前项和．


（Ⅰ）求数列的通项公式；


（Ⅱ）设，求证：．


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，数列{bn}为等差数列，且满足b2=a1,b8=a3.


(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；


(2)令，关于k的不等式的解集为M，求所有的和S．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设正项数列的前项和，且满足.


（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；


（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等差数列的前n 项和为，且.


（1）求数列的通项公式；


（2）若数列满足，求数列的前n 项和.


【答案解析】