1.4.4 功和功率

§4.4  功和功率

4．4．1功的概念

力和力的方向上位移的乘积称为功。即

  式中是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量，有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。

  对于变力对物体所做功，则可用求和来表示力所做功，即

也可以用F=F（s）图象的“面积”来表示功的大小，如图4-4-1所示。

    由于物体运动与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功的大小可以有不同的数值，但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移，相对位移是与参照系无关的。

值得注意的是，功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法：（1）微元法；（2）图象法；（3）等效法。

4．4．2. 几种力的功

下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。

   具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力，如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种特点的力称为非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。

（1）重力的功

重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力，所以从高度处将重力为mg的物移到高处。重力做功为：，显然与运动路径无关。

（2）弹簧弹力的功

    物体在弹簧弹力F=-kx的作用下，从位置运动至位置，如图4-4-2（a）所示，其弹力变化F=F（x）如图4-4-2（b）所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”表示，功大小为

（3）万有引力的功

  质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离运动至相对距离的过程中，引力所做功为

4．4．3.功率

作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为

求瞬时功率，取时间则为

式中v为某时刻的瞬时速度，为此刻v与F方向的夹角

§4．5  动能   动能定理

4．5．1． 质点动能定理

质量m的质点以速度v运动时，它所具有动能为:

    动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变化时，是由于外力对质点做了功，其关系是: 

W外=

上式表明外力对质点所做功，等于质点动能的变化，这就是质点动能定理。

4．5．2．质点系动能定理

    若质点系由n个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其它质点对它作用力（内力），在质点运动时，这些力都将做功。设质点系由N个质点组成，选取适当的惯性系，对其中第i个质点用质点动能定理

外+内=

对所有n个质点的动能定理求和就有

外+内=

  若用W外、W内、、分别表示外、内、、

则上式可写成

W外+ W内=-

由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的，因为内力做的功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十分有效。

§4．6  势能

4．6．1 势能

      若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即      W保=。

（1）势能的相对性。

    通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。

（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。

（3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。

4．6．2 常见的几种势能

（1）重力势能

  在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为      

（2）弹簧的弹性势能

  取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx，弹力做的功为                   

  由前面保守力所做功与势能变化关系可知

（3）引力势能

  两个质点M、m相距无穷远处，规定，设m从无穷远处移近M，引力做功W，由于F引=，大小随r变化，可采用微元法分段求和方式。如图4-5-1，取质点n由A到B，位移为，引力做功

 很小，、差异很小，则

由无穷远至距r处，引力功W为

开始时，最后相对距离为=r

又有

  质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为 

    r≥R    R为球半径

  质量M，半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故任意两点间移动质点m，引力均不做功，引力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为

                      =