1.5.3 振动能量与共振

§5.3   振动能量与共振

  5.  3．1、简谐振动中的能量

以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：

振子的瞬时弹性势能为：

振子的总能量为：

简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。

如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比较复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，而且是线性力（如图5-3-1），因此，回复力做的功（图中阴影部分的面积）也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x应指振子离开平衡位置的位移，则就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究。

简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即，。

另有

也可用总能量和振幅表示为

5．3．2、阻尼振动

简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。

①振动模型与运动规律

如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv，设m运动在任一x位置，由有

分为                    （17）

式中          

这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。

②阻尼对振动的影响

由图5-3-3可见，阻尼使振幅逐渐衰减，直至为零。同时也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零。

此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰减愈快。而增大质量m可使n减小。所以，为了减小阻尼，单摆的重球及弹簧振子往往选用重球。

③常量阻力下的振动

例1、如图5-3-4所示，倔强系数为250g/cm的弹簧一端固定，另端连结一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦系数，现将弹簧拉长1cm后静止释放。试求：（1）物块获得的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。

解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化为谐振动处理。

（1）设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的x位置时，达最大速度。

由      ，

再由能量守恒：

代入已知数据得

（2）设物体第一次回程中，弹簧的最大压缩量为，则

再设物体第一次返回中，弹簧的最大拉伸量为，则

可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为

而   

故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方。

5．3．3    受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动。

例如：扬声器的发声，机器及电机的运转引起的振动。

1、振动模型及运动规律

如图5-3-5所示，为策动外力作用下的振动模型。其中，阻力R=-cv，为常见的粘性阻尼力。

策动力F=Hcospt，为简谐力时。

由，有化为标准标式

式中  ，，

由微分方程理论可求得振子的运动规律

（2）受迫振动的特性

在阻尼力较小的条件下，简谐策动力引起的振动规律如图5-3-6所示。在这个受迫振动过程由两部分组成：一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动，称为瞬态振动（图（a））；另一部分按策动力频率所作的稳定振动（图（b））。在实际问题中，瞬态振动很快消失，稳态振动显得更加重要。稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关，其振幅与初位相也不由初始条件确定，而与策动频率p密切相关。

5．3．4、共振—当策动力频率p接近于系统的固有频率时受迫振动振幅出现最大值的现象。

如图5-3-7所示的一组曲线，描述了不同阻尼系统的稳态振幅A随策动力频率p改变而引起的变化规律。由图可见：

1、当p接近时振幅最大，出现共振。

2、阻尼越小，共振越大。

3、时，振幅就是静力偏移，即

4、p>>时，振体由于惯性，来不及改变运动，处于静止状态。