1.5.1 简谐振动

第五讲   机械振动和机械波

§5．1简谐振动

5．1．1、简谐振动的动力学特点

如果一个物体受到的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即满足：的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。

现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。

当物体运动到离O点距离为x处时，有

式中为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有，因此

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。

注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。

5．1．2、简谐振动的方程

由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟轴夹角为,那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟的夹角就成为，它在轴上的投影点的坐标

                      （2）

这就是简谐振动方程，式中是t=0时的相位，称为初相：是t时刻的相位。

参考圆上的质点的线速度为，其方向与参考圆相切，这个线速度在轴上的投影是

  ）                    （3）

这也就是简谐振动的速度

参考圆上的质点的加速度为，其方向指向圆心，它在轴上的投影是

        ）                   （4）

这也就是简谐振动的加速度

   由公式（2）、（4）可得

  由牛顿第二定律简谐振动的加速度为

因此有

                               （5）

   简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以

 5．1．3、简谐振动的判据

     物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动：

          ①物体运动中所受回复力应满足     ；

②物体的运动加速度满足         ；

③物体的运动方程可以表示为     。

事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。

§5.2   弹簧振子和单摆

简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。

5．2．1、弹簧振子

弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期             

。

（1）恒力对弹簧振子的作用

比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。

如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长随时间t变化的图线。

由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期

因为，所以

因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为

当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在

的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在

的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么图线将是怎样的？

 （2）弹簧的组合  设有几个劲度系数分别为、……的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为，那么总伸长

各弹簧受的拉力也是F，所以有

故            

根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数

即得           

如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长，需要的外力

根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数

   导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。

当m向下偏离平衡位置时，弹簧组伸长了2 ，增加的弹力为

m受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）

所以m的振动周期

          =

   再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧1由平衡状态伸长时，弹簧2由平衡位置伸长了，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）

由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降

因此物体m总的由平衡位置下降了

此时m所受的合外力

所以系统的振动周期

（3）没有固定悬点的弹簧振子   质量分别为和的两木块A和B，用一根劲度系数为k的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2-5）。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。

想象两端各用一个大小为F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置和，因为系统受的合力始终是零，所以应该有

                     ①

A、B两物体受的力的大小

             ②

由①、②两式可解得

由此可见A、B两物体都做简谐运动，周期都是

此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为，左边一段原长为，劲度系数为；右边一段原长为，劲度系数为，这样处理所得结果与上述结果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？

5．2．2、单摆

一个质量为m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O点，小球摆动至与竖直方向夹角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的切向分力为

当<5º时，△OAB可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且，所以

   （式中）

说明单摆在摆角小于5º时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为

在一些异型单摆中，和g的含意以及值会发生变化。

（1）等效重力加速度

单摆的等效重力加速度等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力与摆球质量的比值。

如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳子中张力为，因此该单摆的等效重力加速度为=。周期为

再如图5-2-7所示，在倾角为的光滑斜面上有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳中张力为，因此单摆的等效重力加速度为=，周期为

又如一节车厢中悬挂一个摆长为的单摆，车厢以加速度在水平地面上运动（如图5-2-8）。由于小球m相对车厢受到一个惯性力，所以它可以“平衡”在OA位置，，此单摆可以在车厢中以OA为中心做简谐振动。当小球相对静止在平衡位置A处时，绳中张力为，等效重力加速度，单摆的周期

（2）等效摆长

单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图5-2-9中的双线摆，其等效摆长不是，而是，周期

再如图5-2-10所示，摆球m固定在边长为L、质量可忽略的等边三角形支架ABC的顶角C上，三角支架可围绕固定的AB边自由转动，AB边与竖直方向成角。

当m作小角度摆动时，实际上是围绕AB的中点D运动，故等效摆长

正因为m绕D点摆动，当它静止在平衡位置时，指向D点的弹力为，等效重力加速度为，因此此异型摆的周期

（3）悬点不固定的单摆

如图5-2-11，一质量为M的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆长为，摆球的质量为m的单摆。显然，当摆球来回摆动时，车厢也将作往复运动，悬点不固定。

由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆，故取车厢为非惯性系，摆球受到重力mg，摆线拉力N和惯性力的作用，如图

分析摆球

N=         ①（忽略摆球向心力）

回复力                  ②

分析车厢：

                 ③

因为很小，所以可认为，，

则由①、③式可得

把它代入②

摆球偏离平衡位置的位移    

所以           

因此摆球作简谐振动，周期

由周期表达式可知：当M»m时，，因为此时M基本不动，一般情况下，