1.5.5 机械波

§5.5机械波

5．5．1、机械波

机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。

自然界存在两种简单的波：质点振动方向与波的传播方向垂直时，称为横波；与传播方向一致时，叫纵波，具有切变弹性的介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波，固体液体中可以同时有横波和纵波，而在气体中一般就只有纵波存在了。

在波动中，波上相邻两个同相位质点间的距离，叫做一个波长，也就是质点作一个全振动时，振动传播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动，因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等，也就是波的频率，在波动中，波长、频率与传播速度之间满足

                   （1）

注意：波速不同于振动质点的运动速度，波速与传播介质的密度及弹性性质有关。

5．5．2、波动方程

如图5-5-1所示，一列横波以速度沿轴正方向传播，设波源O点的振动方程为：

在轴上任意点P的振动比O点滞后时间，即当O点相位为时，P点的相位为，由，，，P点振动方程为

这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。当波向轴负方向传播时，（2）式只需改变的正负号。由波动方程，可以

（1）求某定点处的运动规律

将代入式（6-14），得

其中为质点作简谐振动的初相位。

  （2）求两点与的相位差

   将代入（2）式，得两点、的相位差

   若为整数），则，则该两点同相，它们的位移和速度都相同。若为整数），则，则该两点相位相反，它们的位移和速度大小相同，速度方向刚好相反。

球面波的波动方程与平面波相比，略有不同，对于球面波，其振幅随传播距离的增加而衰减，设离波源距离为处的振幅为，离波源距离为处的振幅为。则有

即振幅与传播的距离成反比

球面简谐波的方程为

式中A是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。

3、波的叠加和干涉

当空间存在两个（或两个以上）振源发出的波时，空间任一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和，这叫做波的叠加原理。

当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时，会出现某些地方振动增强，某些地方振动减弱的现象，叫做波的干涉，这样的两列波叫相干波。

设有两列相干波自振源、发出，两振源的位相相同，空间任一点P至的距离为，至的距离为（图5-5-2），则两列波在P点产生的振动的相位差为

当为整数），即当波程差

         时，P点的合振动加强；

当，即当波程差

时，P点的合振动减弱，可见P点振动的强弱由波程差决定，是P点位置的函数。

总之，当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时，该点振动的合振幅最大，即其振动总是加强的；当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时，该点振动的合振幅最小，即其振动总是削弱的。

4、波的反射、折射和衍射

当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时，一部分返回原介质中，称为反射波；另一部分将透入第二种介质继续传播，称为折射波，入射波的传播方向与交界面的法线成角，（叫入射角），反射波的传播方向与交界面的法线成角（叫反射角）。折射波的传播方向与法线成角（叫折射角），如图5-5-3，则有

式中为波在入射介质中的传播速度，为波在折射介质中的传播速度，（1）式称为波的反射定律，（2）式称为波的折射定律。

弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射，反射的波形有所不同。

设弦上有一向上脉冲波，如图5-5-4，传到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振动得以继续延续下去，故反身波仍为向上的脉冲波，只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时，固定端也可看成新的“振源”，由牛顿第三定律，固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反，故反射脉冲向下，即波形不仅左、右颠倒，上、下也颠倒，这时反射波可看成入射波反向延伸的负值（如图5-5-5），将周期波看成一系列连续脉冲，周期波经自由端或固定端的反射也可由此得出。

波在传播过程中遇到障碍物时，偏离原来的传播方向，传到障碍物“阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多时，衍射现象比较明显；当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候，衍射现象仍然存在，只是发生衍射的部分跟直进部分相比，范围较小，强度很弱，不够明显而已。此外，在障碍物或小孔尺寸一定的情况下，波长越长，衍射现象越明显。

5．6．5、驻波

驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠加的结果，如图6-5-6，设弦上传递的是连续的周期波，波源的振动方程为

向左传播的入射波表达式为

设波源到固定端的距离为，则入射波传到反射点时的相位为

考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反，即入射波在反射时产生了的相位突变，故反射波在反射点的相位为

反射波在原点P的相位为

因而，反射波的波动方程为

合成波为：

合成波的振幅为与x有 关，振幅最大处为波腹，振幅最小处为波节。波腹的位置为

即   如图5-6-6中的D、E、F等处。

波节的位置为

即    

如图5-5-7中的O、A、B等处。

相邻两波节（或波腹）之间的间距为。

不同时刻驻波的波形如图5-6-7所示，其中实线表示、T、2T……时的波形；点线表示、……时的波形；点划线表示、时的波形。

5．5．6、多普勒效应

站在铁路旁边听到车的汽笛声，发现当列车迎面而来时音调较静止时为高，而列车迅速离去时音调较静止时为低，此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频率和声源频率不一致的现象，这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式：

（1）波源静止观察者运动情形

如图5-5-8所示，静止点波源发出的球面波波面是同心的，若观察者以速度趋向或离开波源，则波动相对于观察者的传播速度变为或，于是观察者感受到的频率为

从而它与波源频率之比为

（2）波源运动观察者静止情形

若波源以速度运动，它发出的球面波不再同心。图5-5-9所示两圆分别是时间相隔一个周期T的两个波面。它们中心之间的距离为T，从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说，有效的波长为

观察者感受到的频率为

因而它与波源频率之比为 

（3）波源和观察者都运动的情形

此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况，这时有效波速和波长都发生了变化，观察者感受到的频率为

从而它与波源频率之比为

下举一个例

   单行道上，有一支乐队，沿同一个方向前进，乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近。此时，乐队正在奏出频率为440HZ的音调。在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。旅行者从车上的收音机收听演奏，发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍，并测出三秒钟有四拍，车速为18km/h，求乐队前进速度。（声速=330m/s）。

解：先考虑车上听到的频率，连续两次应用多普勒效应，有

     （为旅行者听到乐队的频率）

得       

收音机得到频率为

        旅行者听到广播频率为  

又拍频为        综上得：=2.98m/s

5．6．7．声波

机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳，产生声音感觉。人耳可闻声波频率是16~20000。频率超过20000的声波叫超声波。超声波具有良好的定向性和贯穿能力。频率小于16的声波称为次声波。在标准情况下，声波在空气中的速度为331m/s。

（1）声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。

回声和原来的声波在人耳中相隔至少0.1秒以上，人耳才能分辨，否则两种声音将混在一起，加强原声。

室内的声波，经多次反射和吸收，最后消失，这样声源停止发声后，声音还可在耳中继续一段时间，这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长，前后音互相重叠，分辨不清；交混时间太短，给人以单调不丰满的感觉，这种房间不适于演奏。

（2）声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。

（3）声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在17cm—17m之间，与一般障碍物尺寸可相比拟，可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在0.4—0.8，一般障碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。

（4）共鸣——声音的共振现象

音叉和空气柱可以发生共鸣。

在一个盛水的容器中插入一根玻璃管，在管口上方放一个正在发声的音叉，当把玻璃管提起和放下，以改变玻璃管中空气柱的长度时，便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。在这个实验中发生共鸣的条件是：，式中L为玻璃管的长度，为音叉发出声波的波长，n为自然数。

5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音，嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期性振动的声源发出的，嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。

6、音调、响度与音品为乐音三要素。

音调—基音频率的高低，基频高则称音调高。人们对音调的感觉客观上也取决于声源振动的频率，频率高，感觉音调高。

响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）也大，人感觉到的声音也大。

音品—音色，它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。音品由声音所包含的泛音的强弱和频率决定。