2.4.4 感生电磁感应

§4．4    感生电磁感应

导体相对磁场静止，由于磁场的变化而引起导体内感生电动势的现象叫感生电磁感应。

即：S、a均不变，但变而使得变。

产生原因：

分析：回路置于变化的磁场里，最简单的方法就是回路平面和磁场垂直，回路中会产生感应电动势，如果回路闭合就有感应电流，如果回路不闭合，感生电动势仍是，不产生感应电流。这是法拉等的发现。由于法拉第自身不可避免的局限，他没有再追究这一现象的深层本质。接过接力棒再创佳绩的是麦克斯韦，他指出感应电动势其实跟导体的性质和种类无关，纯粹是由变化多端的磁场引起的。放置了闭合回路，回路中就有电流，这只是表面现象，不是事情的本质。麦克斯韦相信，即使不在导体回路，变化着的磁场也能在其周围空间激发一种称为涡旋电场的场，涡旋电场和静电场的共同点就是对电荷都有作用力，当然差异点也有不少。例如静电荷它可以单独存在，其电场线是闭合的无头尾无始终。如果恰好变化磁场中有闭合导体回路，变化磁场产生的涡旋电场电场线跟导体不垂直因而分解出与导体相切的分量，导体中的自由电荷受其作用力就会定向移动成为电流。这就是感应电动势的非静电力的来源。麦克斯韦最早分析了这种情况，他敏感地预见到这一现象，表明电场和磁场之间必然有某种当时尚未发现的新关系。

让我们更具体地分析：一个物理场，既呈现某种空间分布又随时间依一定规律变化。我们说这个场是空间和时间的函数。磁场和电场一样，是矢量场。如果说它是匀强的，是指它非稳恒，空间分布状况不变但随时间改变其大小，场线会随时间变密或变疏。本题中变化磁场产生涡旋电场的问题，按麦克斯韦的理论，是一个十分复杂的问题。仅在非常特殊的场合，再附加上非常苛刻的条件，场的分布才是很确定的，中学阶段我们面对的模型几乎都是这样的：磁场被限制在一个圆柱状空间，有理想边界即磁场在边界上突变，在界内匀强，在圆柱外突变为零。磁感线跟圆柱轴线平行，在与磁场垂直的平面上磁场边界是有限大的圆。按麦克斯韦理论：如果磁场随时间均匀变化，那么产生的涡旋电场就不随时间变化；如果磁场随时间是振荡的，那么产生的涡旋电场就是同频率振荡的，如图4-4-1所示。涡旋电场的电场线是一系列环抱磁感线的同心圆。沿这些同心圆的半径方向放置导体，导体上是不可能产生感应电动势的，在这个方向上导体内的带电粒子即受到涡旋电场力作用也不会沿导体定向移动。如果有环形导体恰好与电场线平行，导体上能产生感应电动势，那是确定无疑的。

在上述这些特殊条件下，由变化磁场产生的涡旋电场，其特征是：①空间各点的一定处在与磁场垂直的平面上，即没有跟B平行的分量；②磁场边界内外都有。上面说过的场线是与磁场边界同心封闭圆，任何一个磁场边界同心的圆周上任意一点的沿切线方向；③的指向与磁场变化的关系遵从楞次定律，即的方向就是感应电动势的方向；④的大小，可以从涡旋电场力是非静电力这一点出发来推导，根据电动势定义，电动势应等于单位正电荷从电源负极通过电源内部移往正极，单位正电荷在回路上绕行一周，非静电力做功，此处设该回路半径为r，又根据法拉第电磁感应定律，这两个ε在本质与现象的关系，其实是一回事，数值上应相等，即，所以。该结果仅适用于r≤R的范围(R是磁场边界半径)，其说明大小由两个因素决定：一是磁感应强度变化率；二是r，如果是恒量，那么，在r＞R处，，磁通量中的S，只能计及有磁感线穿过的面积=。请我们关注这个物理量，这是一个非常重要的物理量，以下的每个A类例题和B类例题，我们都要跟打交道。

产生感应电磁现象的原因是由于感生涡旋电场的作用，假如有一个局限在圆柱形范围内的匀强磁场B，B的方向平行于圆柱体的轴。当B的大小在增加时，感生电场的方向如图图4-4-2所示。根据对称性，在回路上各点处的感生电场方向必然与回路想切，感生电场的电场线是一些同心圆。因此，感生电场的电感线是闭合线，无头无尾，像旋涡一样，所以由磁场变化而激发的电场也叫旋涡电场。而静电场的电感线却是起于正电荷而终于负电荷，是有头有尾的。这是一个很重要的区别。

根据电动势和电场的关系，如果磁场区域半径为R，回路的半径为r，回路上的电场强度为E，则

2

因为        

所以有

4．4．1、磁场中导体的感生电动势

在一个半径为R的长直螺线管中通有变化的电流，使管内圆柱形的空间产生变化的磁场，且＞0(图4-4-3)。如果在螺线管横截面内，放置一根长为R的导体棒ab，使得，那么ab上的感生电动势是多少？如果将导体棒延伸到螺线管外，并使得呢？

前面已说过：长直通电螺线管内是匀强磁场，而管外磁场为零，所以本题研究的是一个圆柱形匀强磁场。

尽管根据前述E的表达式，可知ab棒所在各点的电场强度，但要根据这些场强来求出却要用到积分的知识，因此，一般中学生无法完成，我们可取个等边三角形面积oab，因为oa和ob垂直于感生电场的电力线，所以oa和ob上没有感生电动势。又根据法拉第电磁感应定律，oab回路上的感生电动势

这也就是的大小。

如果将ab延伸到c，则可研究，根据同样的道理可知

很明显，上面这个问题可以这样解的前提是磁场局限于圆柱形内。如果一根导体棒是放在一个宽广的或是其它范围不规则的磁场内，那是得不出上述结果的，假如将一个导体闭合回路放在磁场中，对磁场就没有那么严格的要求了，这类问题一般说来同学们是熟悉的，但如果是一个比较复杂的电路放在磁场中，处理时就要用一些新的方法。

4．4．2、磁场中闭合电路的感生电动势

解磁场中一个比较复杂的闭合电路的感生电流的问题，一般除了用到有关电磁感应的知识以外，还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律。

将一个半径a、电阻为r的圆形导线，接上一个电阻为R的电压表后按图4-4-4(a)、(b)两种方式放在磁场中，连接电压表的导线电阻可忽略，(a)、(b)中的圆心角都是θ。均匀变化的磁场垂直于圆面，变化率。试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少？

因为电压表的读数与它两端的正负无关，所以可以任意假设磁场B的方向和变化率的正负。现在我们设B垂直于纸面向里，且＞0(图4-4-5)。回路的面积，回路的面积。这两个回路单独存在时的感生电流方向相同，都是逆时针的，感生电动势的大小分别为

              ①

段导线和段导线电阻分别为

          ②

如图4-4-6中标出的电流，应该有

            ③

对两个回路分别列出电压方程

          ④

(R为伏特表的内阻)。          ⑤

由①、②、③、④、⑤可解得

即有            

因此             

所以图4-4-4(a)的接法中电压表的读数为零。

再看图4-4-4 (b)中的接法：电流设定如图4-4-6，小回路和大回路的感生电动势大小分别为

(R为伏特表的内阻)。

由上述方程可解得

由些可知电压表的读数为

本问题中我们用到的电流方程(如③式)和回路电压方程(如④、⑤式)，实际上就是上一讲中提到过的基尔霍夫方程。在解决电磁感应的问题时，用电压回路方程十分方便，因为电磁感应的电动势是分布在整个回路上的。

附：静电场与感生电场的比较

就产生原因而言，静电场是静止电荷产生的，而感生电场是变化多端的磁场激发的。就性质而言，当单位正电荷绕封闭合回路一周静电场力的功为零。当感生电场驱使单位正电荷绕付线圈一周时，感生电场力的功不为零，其数值恰为副线圈内产生的感生电动势，数值上等于通过副线圈的磁通量对时间的变化率。静电场是保守场，感生电场是非保守场。静电场的电力线是有头有尾的不封闭曲线，而感生电场的电力线是无头无尾的闭合曲线。静电场是有源场，而感生电场是无源场。

典型例题

例1、无限长螺线管的电流随时间作线性变化(常数)时，其内部的磁感应强度B也随时间作线性变化。已知的数值，求管内外的感生电场。

解：如图4-4-7所示为螺线管的横截面图，C表示螺线管的边缘，其半径为R。由于对称性以及感生电场的电力线是一些封闭曲线的性质，可知管内外的感生电场电力线都是与C同心的同心圆，因此：

当r＜R时，

即      

当r＞R时      

所以           

的大小在管内与r成正比，在管外与r成反比。感生电场电力线的方向可由楞次定律确定，当＞0时，电力线方向为逆时针方向。

例2、在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即常数)，求螺线管内横截面上长为l的直线段MN上的感生电动势。(横截面圆的圆心O到MN的垂直距离为h)

解:求感生电动势有两种方法。

(1)                     根据电动势的定义：某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位正电荷沿此段运动时所做的功。在MN上任选一小段，O点到距离为r，处的如图4-4-8所示，与的夹角为θ，感生电场沿移动单位正电荷所做的功为

    ，  而      则

而         

故       

把MN上所有的电动势相加，

(2)用法拉第定律求解。连接OM，ON，则封闭回路三角形OMN的电动势等于其所包围的磁通量的变化率。

OM和ON上各点的感生电场均各自与OM和ON垂直，单位正电荷OM和ON上移动时，感生电场的功为零，故OM和ON上的感生电动势为零，封闭回路OMNO的电动势就是MN上的电动势。

电动势的方向可由楞次定律确定。

例3、两根长度相度、材料相同、电阻分别为R和2R的细导线，围成一直径为D的圆环，P、Q为其两个接点，如图4-4-9所示。在圆环所围成的区域内，存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间增大，变化率为恒定值b。已知圆环中的感应电动势是均匀分布的。设MN为圆环上的两点，MN间的弧长为半圆弧PMNQ的一半。试求这两点间的电压。

分析：就整个圆环而言，导线的粗细不同，因而电阻的分布不同，但感应电动势的分布都是均匀的。求解时要注意电动势的方向与电势的高低。

解：根据电磁感应定律，整个圆环中的感应电动势的大小为

此电动势均匀分布在整个环路内，方向是逆时针方向。由欧姆定律可知感应电流为

M、N两点的电压

由以上各式，可得

可见，M点电势比N点低