2.4.3 动生电磁感应

§4．3   动生电磁感应

导体在磁场中做切割线运动，在导体两端产生感生电动势的现象叫动生电磁感应。

其一是不变，a不变，但电路的一部分切割磁力线

运动使得回路面积改变，从而使得变；

其二是、S不变，但a变，即回路在磁场中转动，

使得回路所包围的面与的夹角改变，从而使得变。

产生原因：

动生电磁感应的产生是由于洛仑兹力的作用。导体ab在磁场B中做垂直于磁力线的运动，速度图4-3-1为v，导体长度为L。由于导体中所有自由电子也随着导体一起以v向右运动，因此受到洛仑兹力，这样就使导体的b端积累了负电荷，a端积累了正电荷，形成了感生电场(图4-3-1)。这种自由电子的定向移动一直要进行到洛仑兹力和感生电场的电场力相互平衡为止，即

，

。

4．3．1、导体平动切割

其中L是ab的长度，v是ab的速度。这里满足。

若v方向与磁场B方向存在夹角θ，如图4-3-1所示，则电动势为

如果切割磁场的导线并非直线，而是一段弯曲导线，如图4-3-3所示：则其电动势大小应等效于连在AB间直导线切割磁场时电动势的大小。即：

如图4-3-4所示，一根被弯成半径为R=10cm的半圆形导线，在磁感应强度B=1.5T的均匀磁场中以速度v=6m/s沿ac方向向右移动，磁场的方向垂直图面向里。

1、导线上a、b两点的电势差，指出哪一点电势高。

2、求导线上a、c两点的电势差。

解:

1、a、b两点的电势差

b点的电势高

2、a、c两点间的电势差为0。

4．3．2、导体转动切割

一般是来要用积分的方法才能求出整根导体上的动生电动势，但有些特殊情况还是可以用初等数学来解。比如图4-3-4所示的金属杆AB绕O轴在磁场中匀速转动，因为杆上各点的线速度是均匀变化的，所以可用平均速度来求电动势。OB之间的动生电动势

OA之间的动电动势

所以         。

此类问题也可这样分析

如图4-3-5所示，匀强磁场中一段导体棒AB垂直于磁场放置，当导体棒A点在垂直于磁场平面以角速度旋转时，AB中同样会产生电动势，确定其电动势大小，可假想存在一个ABC回路，在时间，AB转过，回路磁通量变化

由法拉第电磁感应定律

动生电动势可用来发电。例如，如图4-3-6所示，在匀强磁场B中，矩形线圈以角速度绕线圈的中央轴旋转，当线圈平面的法线方向n与磁感应强度B的夹角为时，线圈中的感应电动势为

式中S是线圈的面积。若线圈以作匀角速旋转，且t=0时，，

则有式中。

可见随时间简谐式的变化，这就是交流发电机的基本工作原理。

4．3．3、典型例题

例1.  如图4-3-7所示,OC为一绝缘杆，C端固定一金属细杆MN，已知MC=CN，MN=OC=R，∠MCO=60。，此结构整体可绕O点在纸面内沿顺时针方向以匀角速度转动，设磁感强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场存在，则M、N两点间的电势差UMN=？

分析:因MN棒上各点切割磁感线的速度各不相同，故直接用公式不甚方便，考虑到UOM与UON极易求到，所以想到对本题进行适当变换。

解:连OM、ON构成一个三角形OMN，在转动过程中，因三角形回路中磁通量不变，故有

，

且  ，

，

所以 

说明求感应电动势时，经常会用到各种等效替换，如有效长度的等效替换，切割速度的等效替换及像本题中的线面变换(即将面分割成线、连线构成面)等。

例2.一边长为l的正方形线圈(线圈的横截面积为S，电阻率为ρ)，以匀速v通过均匀磁成45。夹角，如图4-3-8所示。磁场区域的宽为a，高为b。

(1)若bl，a＞l，问线圈通过均匀磁场B后释放多少焦耳热？

(2)如bl，a＜l，问线圈通过均匀磁场B后释放多少焦耳热？

分析:把速度v正交分解成v∥与v⊥(v∥平行于磁场上边界a，v⊥垂直于上边界a)，并注意到线圈的感应电动势等于各边电动势时代数和。

解: (1)当bl，a＞l时，放出的焦耳热为

(2)bl，a＜l时，放出的焦耳热为

例3.如图4-3-9(a)所示，有一匀强磁场，磁感应强度，在垂直于磁场的平面内有一金属棒PQ绕平行于磁场的O轴作逆时针转动。已知棒长L=0.06m，O轴与P端相距l/3。棒的转速n是2.0r/s。

1、求棒中的感应电动势。

2、P、Q两端中哪一端的电势高？为什么？

解: 1、设金属棒PQ在△t时间内绕O轴转过的角度为θ（图4-3-9(b)），则θ=2πn△t。

由扇面形面积公式可算出OQ段和OP段在△t时间内扫过的面积使：

由上列两式和可进一步算出OQ段和OP段在△t时间内切割的磁感应线和

根据法拉第电磁感应定律，可算出在OQ和OP段的感应电动势和的数值

根据右手定则可确定，的方向由Q指向O，的方向由P指向O，两者方向相反，因此，金属棒PQ中的感应电动势为

其方向由Q向P。

2、P端的电势高。因为如果有导线连接P，Q两端，则显然感应电动势将产生从P端经过导线流向Q端的电流。

例4、有的问题中杆的运动方向、杆的轴线方向都和B不垂直，杆上各点的速度又不同，处理起来就比较复杂一些，请看下题。

如图4-3-10所示的直角坐标中，有一绝缘圆锥体，半锥角为θ,轴线沿z轴方向，顶点在原点处。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上，与圆锥体的一条母线重合，空间存在着沿正x方向的匀强磁场B。试讨论当圆锥体如图所示方向做角速度为ω的匀角速转动时，OP上感生电动势的情况。

解:当P点的x坐标为正时，P点的电势都高于O点的电势；当P点的x坐标为负时，P点的电势都低于O点的电势；当P点的y坐标为0，即OP在xOz平面时，OP上的感生电动势最大。此时OP在垂直于B方向上的有效长度为

,

P点的速度为

而O点的速度为零，所以OP上各点的平均速度为vp/2。因此此时OP上的感生电动势大小为

.

当P点运动到某一位置(图4-3-11)，

P点的x、y坐标都大于零，QP与x轴的

夹角为α时，OP在垂直于B方向上的有图3-2-11效长度为

β为OP在yPz平面上的投影OS与z轴的夹角。

S点绕O点运动的速度为

.

O点的速度始终为零，所以OP上各点在y方向上的平均速度为vs/2。因此此时OP上的感生电动势的大小为

.

据此，可以延伸一下

例5、在如图4-3-12所示的直角作标系中，有一塑料制成的半锥角为θ的圆锥体Oab。圆锥体的顶点在原点处，其轴线沿z轴方向。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上，金属丝与圆锥体的一条母线重合。整个空间中存在着磁感强度为B的均匀磁场，磁场方向沿X轴正方向，当圆锥体绕其轴沿图示方向做角度为ω的匀角速转动时，

(1)OP经过何处时两端的电势相等？

(2)OP在何处时P端的电势高于O端？

(3)电势差的最大值是多少？

分析:本题的关键是如何处理磁感强度跟棒不垂直的问题。方法有二个：当金属丝OP经过XOZ平面时，设法求出极短时间内切割的磁感线数，即磁通量；或把B分解成跟OP垂直的分量和跟平OP行的分量B∥。

解法一：(1)当OP经过YOZ平面的瞬间，两端的电势相等。因为此时OP的运动方向和磁场方向平行(同向或反向)

(2)、只要OP处于YOZ平面的内侧，P点的电势总是高于O点。

(3)、当OP处于XOZ平面的右侧且运动方向和磁场方向垂直时，即通过XOZ平面的瞬间(如图4-3-13所示)的值最大。其值等于在此瞬间很短时间间隔内，OP切割的磁感线数除以，由几何投影可知，也等于内OP在YOZ平面内的投影切割的磁感线的数目。P点在YOZ平面上的投影为沿Y轴做圆频率为、振幅为Lsin的简谐运动，此简谐运动在Z轴附近时其速度为。因此OP的投影切割的面积为一小三角形()的面积，即

切割磁感线数即磁通量为

=B

根据法拉第电磁感应定律可知

=

方法二：如图4-3-14所示，把磁感强度B正交分解成垂直OP的分量和平行于OP的分量，即

      ∥=Bsin

当金属丝OP在匀强磁场中绕Z轴转动时，切割磁感线产生的电动势为E=Lv

式中v的为金属丝OP中点的线速度，v=。代入上式得

E=Bcos=

由此得电势差

=

解法三：设想OP是闭合线框OO的一条边。线框绕OZ轴匀速转动产生的最大动生电动势为      E=BS)

因为边O与OO没有切割磁感线，不产生动生电动势，因此OP中的电动势就等于闭合线框OO中的电动势。由此得电势差

=

解比较复杂的电路时，一般除了用到有关电磁感应知识以外，还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律，请看下例：

例6、如图4-3-15所示，一很长的薄导体平板沿x轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为L，电阻可忽略不计，aebcfd是圆弧形均匀导线，其电阻为3R，圆弧所在的平面与x轴垂直。圆弧的两端a和d与导体板的两个侧面相接触，并可在其上滑动。圆弧ae=eb=cf=fd=圆周长，圆弧bc=圆周长。一内阻R的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b和c点相连。整个装置处在磁感强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定速度v沿x轴方向平移运动时。

(1)求电压表的读数。

(2)求e点与f点的电势差。

分析:怎样求出各段弧线导线(例如bc段)切割磁感线产生的动生电动势呢？可以设想在bc间连接一直导线，与bc间弧线导线构成一闭合回留，它们一起切割磁感线，都产生动生电动势，但回路中的总电动势为零，由此得到bc段弧线导线中的电动势等于bc间直导线中的电动势。用同样的“虚构”回路法，可以求出其他各段弧形导线中的动生电动势。然后根据右手定则判定各段弧线导线中动生电动势的方向。并画出如图4-3-16所示的等效电路，再运用一段含源电路的欧姆定律或基尔霍定律列方程，解出所求的未知数。

解:  当圆弧型导线和电压表的连线在磁场中运动时，各段导线都切割磁感线，都有感应电动势。由图4-3-17可以看出，弧bc段的感应电动势的大小E。弧ae段的感应电动势的大小。弧eb,cf,fd各段的感应电动势的大小都等于E。连接电压表的每根导线中的感应电动势的大小都为E。

由以上分析，可得如图3-2-17所示的等效电路。设各导线中的电流分别为、和，方向如图所示，则有

=-      ①

=-    ②

=2I       ③

以及　      ④

注意到，得图3-2-16

      ⑤

解⑤式并将代入，得

.

电压表的读数

2、e点与f点的电势差

本题中涉及的电动势、电压和电势差3个概念，在本质上是不同的。