3.1.1 几何光学基础

第一讲   几  何  光  学

§1.1      几何光学基础

1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。

2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。

3、光的反射定律：

①反射光线在入射光线和法线所决定平面内；

②反射光线和入射光线分居法线两侧；

③反射角等于入射角。

4、光的折射定律：

①折射光线在入射光线和法线所决定平面内；

②折射光线和入射光线分居法线两侧；

③入射角与折射角满足；

④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为  的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角）。

§1.2   光的反射

1.2.1、组合平面镜成像：

1.组合平面镜  由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S（图1-2-1），S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、、三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和、S和、和、和之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着

对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。

两面平面镜AO和BO成60º角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：①以O为圆心、OS为半径作圆；②过S做AO和BO的垂线与圆交于和；③过和作BO和AO的垂线与圆交于和；④过和作AO和BO的垂线与圆交于，便是S在两平面镜中的5个像。

双镜面反射。如图1-2-3，两镜面间夹角=15º,OA=10cm，A点发出的垂直于的光线射向后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？

如图1-2-4所示，光线经第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性,，且∠。上述均在同一直线上，因此光线在、之间的反复反射就跟光线沿直线传播等效。设是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则n值应满足的关系是<90º，。取n=5，∠，总路程。

2、全反射

全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角时，光线发生全反射。

全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分——光导纤维，就是利用光的全反射现象。图1-2-5是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率，外层材料的折射率，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？

图1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的入射角，只要β大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。

只要即可。

例1、如图1-2-6所示，AB表示一平直的平面镜，是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝（即ab之间是透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在上把这部分涂以标志。

分析:   本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。

解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像。连接Sa并延长交平面镜于点C，连接与点C并延长交米尺于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接并延长交米尺于点F，且  与平面镜交于D，连接S与点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图1-2-7所示。

解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺及屏MN的像，分别是及，a、b的像分别为，如图1-2-8所示。连接Sa交AB于点C，延长并交于点，过点作的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接交AB于点D，延长并交于点，过点作（AB）的垂线交于点F，点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。

点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中，利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。

例2、两个平面镜之间的夹角为45º、60º、120º。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。

分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。

解：设两平面镜A和B的夹角为2θ，物P处在他们的角等分线上，如图1-2-9（a）所示。以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面镜A成的像用表示，由平面镜B成的像用表示。由图不难得出：

在圆弧上的角位置为

在圆弧上的角位置为

。

其中k的取值为k=1，2，…

若经过k次反射，A成的像与B成的像重合，

则        

即             

当时，k=4，有7个像，如图1-2-9（a）所示；

当时，k=3，有5个像，如图1-2-9（b）所示；

当时，k=1.5，不是整数，从图1-2-10（d）可直接看出，物P经镜A成的像在镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以有两个像。

例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部（其尺寸远小于OC的长度），白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72º，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。

1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。

2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。

本题只要求画出示意图，但须力求准确。

解:   本题的答案如图1-2-13所示。

例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。试证明：经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。

解:   如图1-2-15所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a 点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的b点；

入射角为    

反射角为    

在四边形bEAC中，

而      

           = 

于是，   

在△cdb中

∠cdb=180º

    =180º

这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。

由于棱镜的C角是直角，=360º-270º-∠dec=90º-∠dec=。设棱镜的折射率为n，根据折射定律有

总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角的大小无关。只要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法线垂直，又有出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角——90º。

例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。

分析:  如图1-2-17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。

解:  当最内侧光的入射角α大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没有光线从其他地方透出。

即要求     

而        

所以      

即       

故       

点评  对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。

例7． 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体F的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O。经端面折射进入光纤，在光纤中传播。由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为，如图1-2-18所示。最后光从另一端面出射进入流体F。在距出射端面处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为，然后移动光屏D至距光纤出射端面  处，再测出圆形光斑的直径，如图1-2-19所示。

（1）若已知A和B的折射率分别为与。求被测流体F的折射率的表达式。

（2）若、和均为未知量，如何通过进一步的实验以测出的值？

分析  光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出。

解:  （1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图1-2-20为纵面内的光路图。设由O点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为α。若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定可得

    90º               ①

             ②

当i大于全反射临界角时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于，的值由下式决定：

                 ③  

与对应的α值为

                 ④

当，即时，或时，由O发出的光束中，只有的光线才满足的条件下，才能射向端面，此时出射端面处α的最大值为

                  ⑤

若，即时，则由O发出的光线都能满足的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为

                           ⑥

端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为，由②式可知

                ⑦ 

由⑥、⑦式可得，当时，

                        ⑧

由③至⑦式可得，当时，

        ⑨

的数值可由图1-2-21上的几何关系求得为

   ⑩

于是的表达式应为

                       （11）

                 （12）

（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得 、 、、，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有

当时，

               （13）

当时

                （14）

将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得

              （15）

此结果适用于为任何值的情况。