5.2.3 洛仑兹变换

§2、3  洛仑兹变换

2．3．1、洛仑兹变换

如图18-1-1所示的两个惯性系：S系和S′系。设同一事件的两组时空坐标分别为（X,Y,Z,t） 和( 。按洛仑兹变换有

                                   （13）

或           

式（13）称为洛仑兹坐标变换公式，式中=1/。请注意 是X 和t 的函数，t是 和 的函数，即时间不再与空间无关。

2．3．2、   洛仑兹速度变换公式

  或       （14）

式（14）中=1/

§2、4、相对论时空理论

2．4．1、  运动时钟延缓 亦称爱因斯坦延缓。我们考虑晶体振动这样一个物理过程。设晶体在 系中静止，在静止系中测得晶体的振动周期为，若 系匀速v 相对S 系沿x轴运动，若晶体相邻两次达到振幅极大值的事件在S系中的坐标为（x,t）,(x,t) ,在系中为（,）,(，)，其中=。由洛仑兹变换可得

  -=

因为-=，令-=t,则

t=

这表示在系中同地发生的两事件的时间间隔，由S系观察是延长了。

将同地发生的两事件换为事件发生处钟的读数，就得到两个惯性系中时钟快慢的比较。当系中的一个钟通过S系的两个钟（S系认为已校准的两个钟）时，S系的钟所记时间间隔比系所记的大，即每一个惯性系都测得对它运动着的时钟变慢了。所有发生在运动物体上的物理过程都具有这种延缓，因此它是时空的一种基本属性，与过程的具体性质无关。这种延缓又称为时间膨胀或爱因斯坦延缓。

2．4．2、  运动尺度缩短   设一棍静止在系中，沿 轴放置，且系想对于S系以匀速v沿x方向运动。在系的观察者观察，棍后端的坐标为，前端的坐标为，棍对他没有运动，因此他测得棍长为=- 。S系的观察者观察到在同一时刻t，棍后端的坐标为 ，前端的坐标为，则他测得棍长为=-，根据洛仑兹变换

=,

 =.

两式相减，得

,

即

.

这表示物体沿其长度方向运动时，其长度缩短为静止时的倍。这种现象称为洛仑兹收缩。缩短是相对的，每一惯性系都测得对它运动着的物体沿运动方向的长度要缩短。

运动物体沿运动方向的长度缩短是时空的一种基本属性，不但物体的长度缩短，物体间的距离也要缩短，所以这种收缩不是物体内部结构的改变。

2．4．3、   相互作用的最大传播速度和因果律    由同时的相对性可知，事件的先后次序与它们的空间位置和两惯性系间的运动状态有关。在经典的时空理论中，时间的次序是绝对的。在相对论时空观中，是否事件的先后次序没有客观意义呢？显然不是的，如果两事件有因果关系（如农样生产中，先播种后收获，人的先生后死），则它们的先后次序应当是绝对的，不容颠倒，这是事件先后这个概念所必须反映的客观内容。相对论在什么条件下才与这个条件一致呢？

设两事件的时空坐标在S系中为()和() ，在系中为() 和() ，由洛仑兹变换有

.

如果两事件有因果关系，而且>，由于它们的次序不能颠倒，必须在系中观察时，亦有。这就要求

,

即

.

因为，满足上式的条件是

.

对于因果事件，正是事件进展的速度，因此因果事件先后次序的绝对性对相对论的要求是：所有物体的运动速度、讯号传输的速度是光速c。

同时的相对性 在惯性系S中异地同时发生两个事件：事件1（），事件2（） ，且（设y，z不变，故事件只用x， t表示）。在另一惯性系中看这两事件的时空坐标为1：()与2：()。由洛仑兹变换关系

   =

只要，则。就是说在S系中同时发生的两事件，在系看却不同时，即在某惯性系内不同地点同时发生的两事件，对具有相对运动的另一惯性系内的观察者说来，他所测得的两个事件发生的时刻是不同的，同时是相对的。

§2、5、相对论动力学基础

2．5．1、 相对论质量

式（18-18）中为物体的静止质量，v为物体的运到速度，c为真空中的光速。此式告诉我们在狭义相对论中物体的质量不再是一个恒量，而是一个随速度变化的物理量。当时，，而当时， 。因此一个有限大小的力作用于静止质量无论如何小的物体上，其速度不可能趋近于无限大，物体的极限速度为c。

2．5．2、相对论能量

（1）物体的总能量       

式（18-19）表明：一定的质量必定联系着一定的能量，反之一定的能量必定联系着一定的质量。这个方程就叫做爱因斯坦质能（联系）方程。既然物体的质量与能量有一定的对应关系，所以在相对论力学中质量守恒与能量守恒等价。

（2）物体的静能         

（3）物体的相对论动能  

（4）质能变化方程：   

上式告诉我们当物体的质量发生的变化时，必同时伴随着能量的变化。

2．5．3、相对论动量

2．5．4、相对论能量、动量的关系

（1）                

若以 、表示一直角三角形的两条直角边，则E必构成此直角三角形的斜边。

（2）           

2．5．5、相对论的动力学的基本方程

2．5．6、相对论的速度叠加

由于时间和空间的相对性，对于物体的速度，在某一惯性系内观测，要用系的时间和空间坐标表示；在另一惯性系S内观测，要用S系的时间和空间坐标表示。这样，速度叠加公式就不再是绝对时空的速度叠加公式了。假如和S两系的坐标轴相平行，以速度v沿x轴而运动，一质点以相对沿轴而运动，则相对S，其速度u为

这是相对论的速度叠加公式。如果，则u<c；如果（光速），则u=c。与相对论的时空概念相协调。