专题02 函数零点问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题二  函数零点问题

函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐．

模块1  整理方法  提升能力

对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．

对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．

分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．

函数的凸性

1．下凸函数定义

    设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的下凸函数．

2．上凸函数定义

    设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的上凸函数．

3．下凸函数相关定理

定理：设函数为区间上的可导函数，则为上的下凸函数为上的递增函数且不在的任一子区间上恒为零．

4．上凸函数相关定理

定理：设函数为区间上的可导函数，则为上的上凸函数为上的递减函数且不在的任一子区间上恒为零．

例1

【解析】（1），．

①当时，，所以，所以在上递减．

②当时，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增．

（2）法1：①当时，由（1）可知，在上递减，不可能有两个零点．

②当时，，令，则，所以在上递增，而，所以当时，，从而没有两个零点．

当时，，，于是在上有个零点；因为，且，所以在上有个零点．

综上所述，的取值范围为．

法2：．令，则，令，则，所以在上递增，

而，所以当时，，当时，，

于是当时，，当时，，所以

在上递增，在上递减．，当时，

，当时，．若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是．

法3：设，则，于是

，令，则

，令，则，

所以在上递增，而，所以当时，

，，当时，，，所以

在上递增，在上递减．，当时，，当时，．若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是．

法4：设，则，于是

．令，，则有两个零点等价于与有两个交点．因为，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，，当时，．是斜率为，过定点的直线．

当与相切的时候，设切点，则有

，消去和，可得，

即，即．令，

显然是增函数，且，于是，此时切点，斜率．所以当与有两个交点时，，所以的取值范围是．

法5：，令，，，则有两个零点与的图象有两个不同交点．

，所以两个函数图象有一个交点．令，则，由可得，由可得，于是在上递减，在

上递增，而，所以，因此与

相切于点，除切点外，的图象总在图象的上方．

由（1）可知，．

当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象没有交点．当时，的图象就是的图象，此时与的图象只有1个交点．当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象有两个不同交点．

综上所述，的取值范围是．

法6：，令，，则有两个零点与的图象有两个不同交点．

，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，当时，．

由（1）可知，，所以是下凸函数，而是

上凸函数．当与相切时，设切点为，则有

，消去，可得，即，即．令，显然是增函数，而，于是，此时切点，．所以当与的图象有两个交点时，，所以的取值范围是．

【点评】函数零点问题，其解题策略是转化为两个函数图象的交点，三种方式中（一平一曲、一斜一曲、两曲）最为常见的是一平一曲．法1是直接考虑函数的图象与轴的交点情况，法2是分离参数法，法3用了换元，3种方法的本质都是一平一曲，其中法3将指数换成了对数，虽然没有比法2简单，但是也提示我们某些函数或许可以通过换元，降低函数的解决难度．法4是一斜一曲情况，直线与曲线相切时的值是一个重要的分界值．法5和法6都是两曲的情况，但法6比法5要简单，其原因在于法5的两曲凸性相同而法6的两曲凸性相反．

函数零点问题对函数图象说明的要求很高，如解法2当中的是先增后减且极大值，但和的状态会影响的取值范围，所以必须要说清楚两个趋势的情况，才能得到最终的答案．

例2

【解析】（1）因为，所以…①．由

…②，①②，得

，所以．

【证明】（2）因为，，由零点存在性定理可知在内至少存在一个零点．又因为，所以在内递增，因此在内有且只有一个零点．

由于，所以，由此可得，即．因为，所以，所以，所以．

【点评】当函数满足两个条件：连续不断，，则可由零点存在性定理得到函数在上至少有1个零点．零点存在性定理是高中阶段一个比较弱的定理，首先，该定理的两个条件缺一不可，其次，就算满足两个条件，也只能得到有零点的结论，究竟有多少个零点，也不确定．零点存在性定理常与单调性综合使用，这是处理函数零点问题的一种方法．

例3

【解析】（1），由是的极值点，可得，解得．于是，定义域为，，则，所以在上递增，又因为，所以当时，当时，所以在上递减，在上递增．

【证明】（2）法1：定义域为，，，于是在上递增．又因为当时，，当时，，所以在上有唯一的实根，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值．

由可得，即，于是．当时，；当时，等号成立的条件是，但显然，所以等号不成立，即．

综上所述，当时，．

法2：当，时，，于是，所以只要证明，，就能证明当时，．

，，于是在上递增．又因为，，所以在上有唯一的实根，且．当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值．

由可得，即．于是，于是．

综上所述，当时，．

法3：当，时，，于是，所以只要证明（），就能证明当时，．

由（）可得（），又因为（），且两个不等号不能同时成立，所以，即（），所以当时，．

【点评】法1与法2中出现的的具体数值是无法求解的，只能求出其范围，我们把这种零点称为“隐性零点”．法2比法1简单，这是因为利用了函数单调性将命题加强为，转化为研究一个特例函数的问题，从而大大降低了题目的难度．

法2中，因为的表达式涉及、，都是超越式，所以的值不好计算，由此，需要对“隐性零点”满足的式子进行变形，得到两个式子和，然后进行反代，从而将超越式转化为初等式．“反代”是处理“隐性零点”问题的常用策略．

法3使用了与、有关的常用不等式，证明过程相当快捷简单．由于，且、的凸性相反，因此我们可以寻找两个函数的公切线实现隔离放缩，事实上，就是、两个函数的公切线．（不等式证明问题详见专题四）

模块2  练习巩固  整合提升

练习1：设函数．

（1）讨论的导函数的零点的个数；

（2）证明：当时，．

【解析】（1）的定义域为，．

的零点的个数的根的个数与在上的交点的个数．

因为，所以在上递增，又因为，时，，所以当时，与没有交点，当时，与有一个交点．

综上所述，当时，的零点个数为，当时，的零点个数为．

【证明】（2）由（1）可知，在上有唯一的零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，且最小值为．

因为，所以，，所以．

练习2：设函数（为常数，是自然对数的底数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

【解析】（1）函数的定义域为，

．当时，，所以当时，，当时，．所以的递减区间为，递增区间为．

（2）函数在内存在两个极值点在内有两个不同的根．

法1：问题在内有两个不同的根．设，则．

当时，，所以在上递增，所以在内不存在两个不同的根．

当时，由可得，由可得，所以的最小值为．在内有两个不同的根，解得．

综上所述，的取值范围为．

法2：问题在内有两个不同的根与在内有两个不同的交点．

，当时，，当时，．，，当时，．画出在内的图象，可知要使与在内有两个不同的交点，的取值范围为．

练习3：已知函数和，直线：过点且与曲线相切．

（1）求切线的方程；

（2）若不等式恒成立，求的最大值；

（3）设，若函数有唯一零点，求证：．

【解析】（1）设直线与函数相切于点，则切线方程为，即，因为切线过点，所以，解得，所以切线的方程为．

（2）设，．当时，，当时，，所以在时取极小值，也是最小值．因此，要原不等式成立，则，所以的最大值是．

【证明】（3）由题设条件知，函数（），令，则，于是在上单调递增．因为当时，，当时，，所以有唯一的实根，设为，则当时，，当时，，于是有唯一的极小值，也是最小值．当时，，当时，．因此函数有唯一零点的充要条件是其最小值为，即（），所以，又因为，所以．设，则，所以在上单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知．