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专题03 含参数函数不等式恒成立问题-2020高考数学尖子生辅导专题
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这是一份专题03 含参数函数不等式恒成立问题-2020高考数学尖子生辅导专题,共15页。
专题三 含参数函数不等式恒成立问题不等式问题是数学中的重要内容之一,而含参数函数不等式恒成立问题又是重点中的难点.这类问题既含参数又含变量,与多个知识有效交汇,有利于考查学生的综合解题能力,检验学生思维的灵活性与创造性,这正符合高考强调能力立意,强调数学思想与方法的命题思想,因此恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点.模块1 整理方法 提升能力处理含参数函数不等式(一个未知数)恒成立问题,从方法上,可考虑分离参数法或猜想最值法(必要条件法).如果使用分离参数法,则猜想是没有作用的,对于难一点的分离参数法,可能要使用多次求导或洛必达法则.如果使用猜想法,则后续有3种可能:一是猜想没有任何作用;二是利用猜想减少分类讨论;三是在猜想的基础上强化,从而得到答案.从改造的形式上,解答题优先选择一平一曲,可利用分离参数法转化为一平一曲两个函数,也可以把函数化归为一边,考虑函数的图象与轴的交点情况(本质上也是一平一曲).洛必达法则如果当(也可以是)时,两个函数和都趋向于零或都趋向于无穷大,那么极限可能存在,也可能不存在.如果存在,其极限值也不尽相同.我们称这类极限为型或型不定式极限.对于这类极限,一般要用洛必达法则来求.定理1:若函数和满足条件:(1).(2)和在的某个去心邻域内可导,且.(3)存在或为无穷大.则有.定理2:若函数和满足条件:(1).(2)和在的某个去心邻域内可导,且.(3)存在或为无穷大.则有.在定理1和定理2中,将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则.使用洛必达法则时需要注意:(1)必须是型或型不定式极限.(2)若还是型或型不定式极限,且函数和仍满足定理中和所满足的条件,则可继续使用洛必达法则,即.(3)若无法判定的极限状态,或能判定它的极限振荡而不存在,则洛必达法则失效,此时,需要用其它方法计算.(4)可以把定理中的换为,,,,此时只要把定理中的条件作相应的修改,定理仍然成立.例1已知函数().(1)求在上的最小值;(2)若对恒成立,求正数的最大值.【解析】(1)定义域为,.①当时,,函数在为增函数,所以.②当时,由可得,由可得,所以在上递增,在上递减.于是在上的最小值为或.(i)当,即时,.(ii)当,即时,.综上所述,当时,;当时,.(2)令,则对恒成立对恒成立.法1:(分离参数法)当,不等式恒成立,于是对恒成立对恒成立.令,则,令,则,所以在上递增,于是,即,所以在上递增.由洛必达法则,可得,于是,所以正数的最大值为.法2:(不猜想直接用最值法)构造函数,则.①当,即时,,所以函数在上递增,所以.②当,即时,由可得,所以函数在上递减,于是在上,,不合题意.综上所述,正数的最大值为.法3:(先猜想并将猜想强化)由常用不等式()可得,即.当时,式子恒成立,当,有恒成立,而,所以.下面证明可以取到,即证明不等式对恒成立.构造函数(),则,所以函数在上递增,所以,所以不等式对恒成立,所以正数的最大值为.法4:(先猜想并将猜想强化)对恒成立,因为所以,即.下同法3.法5:(先猜想并将猜想强化)当,不等式恒成立,于是对恒成立对恒成立.由洛必达法则,可得,于是.下同法3.【点评】法1(分离参数法)把恒成立问题转化为求的最小值,法2(最值法)把恒成立问题转化为求的最小值.由此可见最值法与分离参数法本质上是相通的,其本质都是把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,其区别在于所求的函数中是否含有参数.法3、法4和法5都是先求出必要条件,然后将必要条件进行强化,需要解题的敏感度和判断力.如果我们将这个必要条件与法2的最值法进行结合,可减少法2的分类讨论. 例2设函数.(1)求的单调区间;(2)若,为整数,且当时,,求的最大值.【解析】(1).①当时,在上恒成立,所以在上递增.②当时,由可得,由可得.所以在上递减,在上递增.(2)当时,,所以,即在上恒成立.法1:(分离参数法)在上恒成立在上恒成立.令,则,令,有在上恒成立,所以在上递增(也可由(1)可知,函数在上递增).而,,所以在上有唯一根,所以当时,当时,于是在上递减,在上递增,所以在上的最小值为,因为,所以,于是,所以,所以的最大值为.法2:(不猜想直接用最值法)令,则,令可得.①当,即时,有在上恒成立,于是在上递增,从而在上有,于是在上恒成立.②当,即时(因为是整数,所以),可知当时,,当时,,于是在上的最小值是.令,则在上恒成立,所以在上单调递减.而,.所以当时,有在上恒成立,当时,在上不恒成立.综上所述,的最大值为.法3:(先猜想并将猜想强化)因为在上恒成立,所以当时,该式子也成立,于是,即.下证的最大值为.令,则,由可得,由可得,所以在上递减,在上递增.所以,于是的最大值为.【点评】由于是整数,所以先猜想再将猜想强化是优先采用的解题方法.如果将是整数这个条件去掉,则得到的必要条件既不能强化又不能减少分类讨论,此时猜想将没有任何作用,只能用法1的分离参数法和法2的最值法进行求解.例3设函数.(1)若,求的单调区间;(2)若当时,,求的取值范围.【解析】(1)当时,,.由可得,由可得.所以的递增区间是,递减区间是.(2)法1:(分离参数法)在上恒成立在上恒成立.当时,式子显然成立;当时,分离参数可得在上恒成立.令,则,令,可得,,所以在上递增,于是,即,所以在上递增,于是,所以,所以在上递增.由洛必达法则,可得,所以在上有,所以.法2:(不猜想直接用最值法),.①当,即时,有,所以在上递增,所以,所以,所以在上递增,所以.②当,即时,由可得时,于是在上递减,所以,所以,所以在上递减,于是,于是不恒成立.综上所述,的取值范围是.法3:(先猜想并将猜想强化)当时,在上恒成立.当时,在上恒成立在上恒成立.由洛必达法则,可得,所以.,,所以在上递增,所以,所以,所以在上递增,所以.【点评】对于恒成立问题,最值法与分离参数法是两种最常用的方法.如果分离后的函数容易求最值,则选用分离参数法,否则选用最值法.最值法主要考查学生分类讨论的思想,一般遵循“构造函数——分类讨论”两部曲来展开.一些稍难的恒成立问题,如果用分离参数法来处理,往往需要多次求导和使用洛必达法则.本题中,法2的最值法比法1的分离参数法要简单,这是因为处理的最小值要比处理的最小值要容易.猜想最值法的模式是解决恒成立问题的重要模式,猜想的一般方法有:特殊值代入,不等式放缩,洛必达法则,端点效应.模块2 练习巩固 整合提升练习1:已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求证:当时,;(3)设实数使得对恒成立,求的最大值.【解析】(1),因为,所以,于是切线方程为.【证明】(2)构造函数,.因为,所以在上递增,所以.于是当时,.【解析】(3)法1:(不猜想直接用最值法)构造函数,,则.①当时,,所以在上递增,所以.②当时,,所以在上递增,所以.③当时,由可得,于是在上递减,所以,于是在上不恒成立.综上所述,的最大值为.法2:(先猜想并将猜想强化)由(2)可知,猜想的最大值为.下面证明当时,在上不恒成立.构造函数,,则.当时,由可得,于是在上递减,所以,于是在上不恒成立.练习2:设函数.(1)证明:在单调递减,在单调递增;(2)若对于任意、,都有,求的取值范围.【证明】(1),令,则,所以在上递增,而,所以当时,,当时,,所以在单调递减,在单调递增.【解析】(2)由(1)可知,在上递减,在上递增,所以,于是对于任意、,都有,即.构造函数,则,由可得,由可得,所以在上递减,在上递增.又因为,,所以的取值范围是.练习3:已知函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)若当时,,求的取值范围.【解析】(1)的定义域为.当时,,,所以,.于是曲线在处的切线方程为.(2)法1:(分离参数法)当时,.令,则,令,则,于是在上递增,所以,于是,从而在上递增.由洛必达法则,可得,于是.于是的取值范围是.法2:(不猜想直接用最值法).①当,即时,,所以在上递增,所以.②当时,令,则,所以(即)在上递增,于是.(i)若,即时,,于是在上递增,于是.(ii)若,即时,存在,使得当时,,于是在上递减,所以.综上所述,的取值范围是.法3:(变形后不猜想直接用最值法)当时,.令,则,记,则是以为对称轴,开口方向向上的抛物线.①当,即时,,所以,于是在上递增,因此.②当,即时,的判别式为,于是有两根,不妨设为、,且.由韦达定理可得,于是,所以,于是,当时,,所以,于是在上递减,即.综上所述,的取值范围是.法4:(通过猜想减少分类讨论)当时,.因为,所以,即.,记,则是以为对称轴,开口方向向上的抛物线.当时,,所以,于是在上递增,因此.所以的取值范围是.法5:(通过猜想减少分类讨论)当时,.由洛必达法则,可得,于是.下同法4.练习4:已知函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求、的值;(2)如果当,且时,,求的取值范围.【解析】(1),因为,所以,于是.(2)法1:(分离参数法)由可得,令(且).,令,则,令,则,令,则.当时,在上递增,于是,即,所以在上递减,于是,即,所以在上递增,所以,于是,所以在上递减.当时,在上递增,于是,即,所以在上递增,于是,即,所以在上递增,所以,于是,所以在上递增.由洛必达法则,可得,同理,,所以当且时,有,于是.法2:(不猜想直接用最值法)由(1)知,所以,考虑函数,,则,此时有.,令,当时,其判别式为.①当时,,所以,于是,于是在上递减,而,所以当时,,于是;当时,,于是.所以当,且时,,即恒成立.②当时,是开口方向向下,以为对称轴,与轴有两个交点的二次函数.因为,所以当时,,所以,于是在上递增,所以.而时,,所以,于是不恒成立.③当时,,所以在上是增函数,所以当时,,而,所以,于是不恒成立.④当时,是开口方向向上,以为对称轴,与轴有两个交点的二次函数.因为,所以在上恒成立,所以在上是增函数,以下同③,于是不恒成立.⑤当时,是开口方向向上,以为对称轴,与轴最多有一个交点的二次函数,所以在上恒成立,所以在上是增函数,以下同③,于是不恒成立.综上所述,的取值范围为.法3:(通过猜想减少分类讨论)由(1)知,所以.因为,所以.考虑函数,,则,此时有.,令,这是开口方向向下的抛物线,其判别式为.①当时,,所以,于是,于是在上递减,而,所以当时,,于是;当时,,于是.所以当,且时,,即恒成立.②当时,是开口方向向下,以为对称轴,与轴有两个交点的二次函数.因为,所以当时,,所以,于是在上递增,所以.而时,,所以,于是不恒成立.综上所述,的取值范围为.法4:(通过猜想减少分类讨论)由可得,由洛必达法则,可得,于是,所以.下同法2,只需讨论法2的①②③三种情况即可.法5:(通过猜想减少分类讨论)由可得,由洛必达法则,可得,所以.下同法2,只需讨论法2的①即可.【点评】法1的分离参数法,利用了高阶导数以及洛必达法则,减少了解题的技巧性.法2的最值法构造了函数,只需由在上恒成立,求出的取值范围即可.但的表达式比较复杂,其复杂的根源在于前面带有,直接求导只会让式子变得更复杂,因此我们提取,让变得“纯粹”一点.的正负取决于与的正负,由此可找到的3个界:0、1、2,从而对的范围作出不重不漏的划分.法3、法4和法5都是猜想最值法,分别通过特殊值代入和洛必达法则得到相应的必要条件,有效缩小了参数的取值范围,此时只需讨论法2分类当中的若干情况即可,减少了分类讨论,从而降低题目的难度.
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