专题1.2函数及其性质-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

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2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典 专题12函数及其性质姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2019·浙江高三月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（  ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】不等式等价于或分别解不等式组后，取并集可求得的取值范围.【详解】或，解得：或，即，故选D.2．（2020·武威第六中学高三其他（理））函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题,的定义域为,因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；又因为,则当时,,,所以,故选：D3．（2020·安徽庐阳合肥一中高三其他（理））设正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意作函数、的图象，结合当时， 可得；由函数的单调性可得；再由结合对数函数的性质可得；即可得解.【详解】由可得：，，在同一坐标系中分别作函数、的图象如图：当时，，，此时，所以当时，即；由函数单调递增且、可得；由可得；所以.故选：C.4．（2020·湖南雨花雅礼中学高三月考（理））已知函数()，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（    ）①；  ②在有且仅有一个极大值点；③在上存在零点，则a的最小值为；④在上单调递增；A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④【答案】C【解析】【分析】根据为奇函数，求出，可知①错误；当时，，当时，，可知②错误；根据函数的零点为，,可知③正确；当时，，为单调递减函数，可知④正确.【详解】因为，所以，所以因为为奇函数，则，即，所以，，因为，所以，对于①，，故①错误；对于②，因为，当时，，当时，，∴在上存在一个极小值点，没有极大值点，故②错误；对于③，令，得，，若在上存在零点，则且a的最小值为，故③正确；对于④，，当时，，则在上单调递增，故④正确；故选：C.5．（2020·福建高三其他（理））若，，，关于函数的以下结论：①        ②对称轴方程为，③值域为        ④在区间单调递减其中正确的是（    ）A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】D【解析】【分析】根据定义求出函数的解析式，然后画出的图象，结合图像即可判断的结论.【详解】解:.因为都是周期为的函数，所以的周期为，①错误；如下图所示（一个周期内图象）：的对称轴方程为：，，②正确；由图直接得知③正确；当，在区间单调递减，④正确.故选：D.6．（2020·河南开封高三二模（理））已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（    ）A．6 B．3 C．0 D．【答案】B【解析】 由题得，所以函数的周期为.由题得，，，所以，所以.故选：B.7．已知函数，若实数满足，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，由于，不妨设，可知，故 ，，，不妨设，故在单调递减，在单调递增，则，所以的最小值为.故选：C.8．函数的定义域为，若为偶函数，且当时，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据为偶函数，则，得到函数的图象关于直线对称．再根据为偶函数，的定义域关于对称解得，然后利用指数函数的单调性求解.【详解】因为为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称．又函数的定义域为，则，解得，故当时，单调递减，又，，，所以，即，故选：A．9．（2020·四川资阳高三其他（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，函数单调递增，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数关于点对称，又当时，单调递增，所以在上单调递增，所以的图象关于直线对称，且当时，单调递增.因为，，，且，所以.故选：A【点睛】本题考查函数的性质与对数函数的综合应用，考查数学抽象与逻辑推理的的核心素养.对数函数值大小比较：（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.10．（2020·福建高三其他（理））已知是定义在R上的奇函数，当时，.对于任意不小于2的正整数n，当时，都满足.给出以下命题：①的值域为；②当时，；③当时，方程有且只有三个实根.以上三个命题中，所有真命题的序号是（    ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解析】因为当时，都满足所以当时，，当时，，从而类推可得当时，当时，，即②正确；当时，因为是定义在R上的奇函数，所以，即①正确；当时，由图可知 不止三个交点，所以③错误；故选：A 二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2020·全国高三课时练习（理））设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)≠0，当x<0时，f ′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(－3)＝0，则不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】设，求导后，利用已知条件确定导数的正负，从而得在上的单调性．确定的奇偶性，得在上的单调性，由单调性可得不等式的解．【详解】因为f(x)和g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).因为当x<0时，f ′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，当x<0时，，令h(x)＝,则h(x)在(－∞，0)上单调递增，因为h(－x)＝＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(－3)＝－f(3)＝0，所以h(－3)＝－h(3)＝0，h(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).故答案为：(－∞,－3)∪(0,3).12．（2020·安徽定远高三其他（理））已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________．【答案】4【解析】∵函数是奇函数∴函数的图象关于点对称∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则.又∵∴，从而∴，即∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.画出函数的图象如图所示： ∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.故答案为4.【点睛】：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．（2020·河南新乡高三三模（理））函数f（x）＝，则f（f（））＝_____．【答案】﹣1【解析】【分析】先计算出，再计算得值，由此得出结果.【详解】依题意得.故答案为：14．（2020·全国高三课时练习（理））设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当时，f(f(a))≤2即为，，解得，所以；当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.所以f(a)≥－2，则或 ，解得.故答案为：15．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）【答案】①②④【解析】【分析】作出函数的图象，求出时的最大值和最小值，可判断①；由图可直接判断②③④，进而可得答案.【详解】的图象如图所示：①当时，的最大值为，最小值为，∴任取，，都有恒成立，故①正确；②如图所示，函数和的图象有3个交点，即有3个零点，故②正确；③函数在区间上的单调性和上的单调性相同，则函数在区间上不单调，故③错误；④当时，函数关于对称，若关于的方程有且只有两个不同实根，，则，则成立，故④正确；故答案为：①②④.