专题2.1 三角函数与及其恒等变形-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

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2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典 专题2.1 三角函数及其恒等变形姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·湖南天心�长郡中学高三其他（理））已知，则（    ）A． B．1 C． D．0【答案】A【解析】，，可得，.因此，.故选：A.2．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示成,则(    ).A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】解：由题可知，所以.则.故选：C.3．（2020·哈尔滨市第一中学校高三一模（理））若，则（    ）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】由二倍角的正切公式得，整理得，解得或，所以，.当时，原式；当时，原式.综上所述，.故选：D.4．（2020·湖南雨花雅礼中学高三月考（理））已知外接圆的半径，且.则周长的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，即，可化为，即，因为，所以，即，，设的内角，，，的对边分别为，，，由余弦定理得，，因为（当且仅当时取“=”），所以，即，又因为，所以，故，则，又因为，所以，即.故周长的取值范围为.故选：C5．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高二期中（理））已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ）.A．1 B． C． D．【答案】C【解析】 在区间上单调递减， ,即 ，当时，， ， ，综上可知.故选C6．（2020·河南高三月考（理））已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为所以．因为，所以，所以，故选：B．7．（2020·上海高三专题练习）若，则的取值范围是 (   )A． B．C． D．【答案】D 选D.8．（2020·广东汕头高三二模（理））已知函数的最小正周期为，若，且，则的最大值为（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得∵的最小正周期为，∴，即，∴，∵，∴的值域为，故若，则，∴与是方程，即的根，所以，解得，，∴，∴的最大值为，故选：C.9．（2020·河北桃城�衡水中学高三月考（理））已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∈Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA=，xB=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴xA＜π≤xB，即＜π≤，解得．故选B．10．（2019·商丘市第一高级中学高三期中（理））设，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.11．（2020·广东高三零模（理））设函数（，）的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（    ）①在单调递减.②的一条对称轴为.③的周期为.④把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】A【解析】根据辅助角公式得.最小正周期为，，即.函数过点，，则.当时.即.令，则，当时，在单调递减，①正确.令，则，当时，的一条对称轴为，②正确. 的周期为且，③错误. 函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为，④错误.故选：A12．（2020·赣州市赣县第三中学高三月考（理））关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间单调递减；③在有个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（    ）A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】A【解析】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；对于命题③，当时，，则，当时，，则，由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；对于命题④，若函数取最大值时，，则，，当时，函数取最大值，命题④正确.因此，正确的命题序号为①②④.故选A.13．（2020·新疆高三月考（理））函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（    ）A．函数的最小正周期是2πB．函数的图象关于点成中心对称C．函数在单调递增D．将函数的图象向左平移后得到的关于y轴对称【答案】C【解析】解：根据函数（，）的部分图象以及圆C的对称性，可得，两点关于圆心对称，故，则，解得：，函数的周期为，故A错误；∵函数关于点对称，∴函数的对称中心为，则当时，对称中心为，故B不正确；函数的一条对称轴为，在x轴负方向内，接近于y轴的一条对称轴为，由图像可知，函数的单调增区间为，，当时，函数的单调递增区间为，，故C正确；的一条对称轴为，∴函数的图象向左平移个单位后，此时，所得图象关于直线对称，故D错误.故选：C14．（2020·河北桃城衡水中学高三期中（理））已知函数，那么下列命题中假命题是（    ）A．是偶函数 B．在上恰有一个零点C．是周期函数 D．在上是增函数【答案】D【解析】对于，函数，定义域为，且满足，所以为定义域上的偶函数，正确；对于，时，，，且，在上恰有一个零点是，正确；对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数是最小正周期为的周期函数， 正确；对于D，时，，且，在上先减后增，D错误．故选D．15．（2020·安徽相山淮北一中高三月考（理））已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由于在区间有三个零点，，，当时，，∴由对称轴可知，满足，即.同理，满足，即，∴，，所以最小正周期为：.故选：C.  二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）16．（2020·全国高三其他（理））________．【答案】2【解析】因为，又，所以，所以.故答案为217．（2020·广东广州高三月考（理））方程在区间 上的解为_______________．【答案】或.【解析】由题意，，即，原方程等价于，解得或（舍），故或.故答案为：或.18．（2020·梅河口市第五中学高三期中（理））已知，，则_________．【答案】【解析】．故答案为: .19．（2020·浙江高三其他）已知，，则________，________．【答案】        【解析】因为，，所以为第三象限角，所以，所以，，故．故答案为：；.20．（2019·儋州市第一中学高三月考）己知函数，有以下结论：①的图象关于直线轴对称    ②在区间上单调递减③的一个对称中心是    ④的最大值为则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.【答案】②④【解析】，根据图像知：①的图象关于直线轴对称，错误②在区间上单调递减，正确③的一个对称中心是  ，错误④的最大值为，正确故答案为②④21．（2020·安徽高三其他（理））设函数的图象关于直线和均对称，下述四个结论：①；②4是f（x）的一个周期；③存在，使为奇函数；④的值可能为0，，1．其中正确的结论是________．（把所有正确结论的序号均填上）【答案】②④【解析】∵的图象关于直线对称∴或，∴①错误，∵2是半周期的整数倍，于是4是的一个周期，∴②正确，∵对于任意，，∴不存在，使为奇函数，∴③错误，∵或，由②可知，所以，于是的可能取值是0，，1，∴④正确．故答案为：②④22．（2020·河北新乐市第一中学高三其他）已知函数，，，已知时，函数的所有零点和为21，则当时，函数的所有零点的和为__________．【答案】35【解析】时，，是函数的对称中心，周期为，，则是函数的对称中心，的所有零点和为21，故有三个零点，直线与三角函数相切，画出函数图象，如图所示：当时，，是函数的对称中心，根据图象知有五个零点，故所有零点和为.故答案为：. 三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．（2020·全国高三课时练习（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理及得，由知，则，化简得，.又，因此，；（2）如下图，由，又为的中点，则，等式两边平方得，所以，则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.24．（2020·湖南衡阳高三三模（理））如图平面四边形，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）若，，，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）法1：因为，由正弦定理可得，即即，又，所以，即.法2：因为，由正弦定理可得及，则，又，可得，又，所以.（2）当，又，所以为正三角形在中，令，由余弦定理可得：所以由，所以最大值为1，故当时，25．（2020·上海高三专题练习）已知函数.（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（II）若,求的值.【答案】函数在区间上的最大值为2，最小值为-1【解析】（1）所以又所以由函数图像知.（2）解：由题意而所以所以所以=.26．（2020·江西高三二模（理））已知函数，且，.（1）求的解析式；（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以，解得，..（2）因为，所以，所以，则.的图象的对称轴是.①当时，，，则，解得，符合题意； ②当时，，，则，解得，符合题意；③当时，，，则，不等式组无解.综上，的取值范围是.