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专题6.2 立体几何综合应用-2021年高考数学（理）尖子生培优题典
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这是一份专题6.2 立体几何综合应用-2021年高考数学（理）尖子生培优题典，文件包含专题62立体几何综合应用-2021年高考数学理尖子生培优题典原卷版docx、专题62立体几何综合应用-2021年高考数学理尖子生培优题典解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
专题6.2立体几何综合应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2020·浙江月考）设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（ ）
A．当n⊥时，“n⊥”是“∥”成立的充要条件
B．当时，“m⊥”是“”的充分不必要条件
C．当时，“n//”是“”必要不充分条件
D．当时，“”是“”的充分不必要条件
2．（2019·六盘山高级中学高三期末（理））如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论错误的是（ ）
A．与所成角为
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．二面角是定值
3．（2020·长春市第八中学一模（理））如图，在边长为的正方形中，线段BC的端点分别在边、上滑动，且，现将，分别沿AB，AC折起使点重合，重合后记为点，得到三被锥.现有以下结论：
①平面；
②当分别为、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为；
③的取值范围为；
④三棱锥体积的最大值为.
则正确的结论的个数为( )
A．B．C．D．
4．（2020·河北衡水·月考（理））在菱形中，，将沿对角线折起使得二面角的大小为60°，则折叠后所得四面体的外接球的半径为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·河南月考（理））打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取，精确到0.1）
A．B．C．D．
6．（2020·全国开学考试（理））在直三棱柱中，，，，若该三棱柱的外接球表面积为，则三棱柱的高为（ ）
A．2B．C．4D．
7．（2020·全国月考（理））我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（ ）
图（1） 图（2）
A．B．
C．D．
8．（2020·山西运城·月考（理））如图，正三角形为圆锥的轴截面，为的中点，为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·山西运城·月考（理））在四面体中，，，平面，四面体的体积为.若四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）.
A．B．C．D．
10．（2020·河北石家庄·高三月考）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．25︰1B．1︰25C．1︰5D．5︰1
11．（2020·湖北高三二模（理））已知，如图正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为2，D为AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则最小值是（ ）
A．B．C．D．
12．（2020·安徽合肥·高三三模（理））在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的面的交线长等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2020·安徽蚌埠·高三月考（理））如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是______.
14．（2020·河南月考（理））已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为60°，则四面体的体积的最大值为________.
15．（2020·云南昆明一中其他（理））如图，正方体ABCD –A1B1C1D1的棱长为1 ，线段AC1上有两个动点E、F，且EF，给出下列四个结论:
①CE⊥BD
②三棱锥E - BCF的体积为定值
③∆BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形
④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线
其中，正确的结论是____________
16．（2020·河南中原·高三一模（理））在棱长为3的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积为______．
17．（2020·威远中学校高二月考（理））如图，四棱锥中，，矩形的周长为8，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球半径与内切球半径分别为和，则的值为______.
三、解答题
18．（2020·山西运城·月考（理））如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，且，平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（2015·宁夏银川·高三月考（理））如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．
20．（2020·江苏海安高级中学高三月考）如图，在空间之间坐标系中，四棱锥的底面在平面上，其中点与坐标原点重合，点在轴上，，，顶点在轴上，且，.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）设为的中点，点在上，且，求二面角的正弦值.
21．（2020·天津北辰·二模）已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO平面；
（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．
22．（2020·河南中原·月考（理））如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．
求证：；
若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．
专题6.2立体几何综合应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2020·浙江月考）设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（ ）
A．当n⊥时，“n⊥”是“∥”成立的充要条件
B．当时，“m⊥”是“”的充分不必要条件
C．当时，“n//”是“”必要不充分条件
D．当时，“”是“”的充分不必要条件
2．（2019·六盘山高级中学高三期末（理））如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论错误的是（ ）
A．与所成角为
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．二面角是定值
3．（2020·长春市第八中学一模（理））如图，在边长为的正方形中，线段BC的端点分别在边、上滑动，且，现将，分别沿AB，AC折起使点重合，重合后记为点，得到三被锥.现有以下结论：
①平面；
②当分别为、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为；
③的取值范围为；
④三棱锥体积的最大值为.
则正确的结论的个数为( )
A．B．C．D．
4．（2020·河北衡水·月考（理））在菱形中，，将沿对角线折起使得二面角的大小为60°，则折叠后所得四面体的外接球的半径为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·河南月考（理））打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取，精确到0.1）
A．B．C．D．
6．（2020·全国开学考试（理））在直三棱柱中，，，，若该三棱柱的外接球表面积为，则三棱柱的高为（ ）
A．2B．C．4D．
7．（2020·全国月考（理））我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（ ）
图（1） 图（2）
A．B．
C．D．
8．（2020·山西运城·月考（理））如图，正三角形为圆锥的轴截面，为的中点，为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·山西运城·月考（理））在四面体中，，，平面，四面体的体积为.若四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）.
A．B．C．D．
10．（2020·河北石家庄·高三月考）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．25︰1B．1︰25C．1︰5D．5︰1
11．（2020·湖北高三二模（理））已知，如图正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为2，D为AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则最小值是（ ）
A．B．C．D．
12．（2020·安徽合肥·高三三模（理））在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的面的交线长等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2020·安徽蚌埠·高三月考（理））如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是______.
14．（2020·河南月考（理））已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为60°，则四面体的体积的最大值为________.
15．（2020·云南昆明一中其他（理））如图，正方体ABCD –A1B1C1D1的棱长为1 ，线段AC1上有两个动点E、F，且EF，给出下列四个结论:
①CE⊥BD
②三棱锥E - BCF的体积为定值
③∆BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形
④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线
其中，正确的结论是____________
16．（2020·河南中原·高三一模（理））在棱长为3的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积为______．
17．（2020·威远中学校高二月考（理））如图，四棱锥中，，矩形的周长为8，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球半径与内切球半径分别为和，则的值为______.
三、解答题
18．（2020·山西运城·月考（理））如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，且，平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（2015·宁夏银川·高三月考（理））如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．
20．（2020·江苏海安高级中学高三月考）如图，在空间之间坐标系中，四棱锥的底面在平面上，其中点与坐标原点重合，点在轴上，，，顶点在轴上，且，.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）设为的中点，点在上，且，求二面角的正弦值.
21．（2020·天津北辰·二模）已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO平面；
（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．
22．（2020·河南中原·月考（理））如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．
求证：；
若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．
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