专题7.4 抛物线性质应用-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

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2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典专题7.4 抛物线性质应用姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 一、单选题1．（2020·江西二模（理））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为A． B．C． D．【答案】C【解析】由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以所以．设直线,代入得，设直线l与抛物线C的交点坐标为，则，则，所以，解得．故选C．2．（2020·湖南邵阳·高三二模（理））点是抛物线上一点，斜率为的直线交抛物线于点，，且，设直线，的斜率分别为，，则（    ）A． B． C．直线过点 D．直线过点【答案】D【解析】：设，，则，，，所以.直线的方程为，即，因为，所以，即，代入方程整理得，则直线l过点.故选：D.3．（2020·全国高三其他（理））过抛物线的准线上任意一点作抛物线的切线，切点分别为，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是（    ）A．6 B．2 C．4 D．3【答案】C【解析】：设，，，，由可得，所以，所以直线，的方程分别为：，，两个方程联立可得，，又有在准线上，所以，所以，设直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，可得，所以可得，即直线恒过点，即直线恒过焦点，即直的方程为：，代入抛物线的方程：，，所以，点到准线的距离与点到准线的距离之和，当时，距离之和最小且为4，这时直线平行于轴．故选：C.4．（2020·安徽郎溪·高三其他（理））抛物线的焦点，准线是，点是抛物线上一点，则经过点，且与相切的圆的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．无数多个【答案】B【解析】抛物线的焦参数，，准线，即，设经过点，且与直线相切的圆的圆心为，则半径为到的距离为即，圆的方程为将､的坐标代入可得①②由①-②可得：整理可得：③将②整理可得：即：④由③④得：解得将分别代入④得：故圆的个数为2个.故选：B.5．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三开学考试（理））已知和直线，抛物线上动点到的距离为，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：抛物线准线为，设到其距离为，则，所以，故选C.考点：抛物线及其准线、焦点.6．（2020·江苏金陵中学高三月考）如图，过抛物线（）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，则由已知得，由抛物线定义得，故.在中，因为，，，所以，得，，所以，因此抛物线方程为.故选：B7．（2020·四川邻水实验学校高三开学考试（理））《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2=2px的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的图形如图：，，可得，所以，是正三角形，并且是的中点，所以，则，所以抛物线方程为：．故选B．8．（2020·陕西西安·高三月考（理））已知双曲线与抛物线有共同的焦点，且点到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】.抛物线的焦点坐标为,可得双曲线的焦点为,化为 ,得,双曲线的一条渐近线方程为，由点到双曲线渐近线的距离等于1，得 , 即，①又 ，即，②联立①②解得，双曲线的方程为，故选A .9．（2020·广东广州·高三月考）已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】抛物线（）的准线方程为，圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，圆心到准线的距离为，所以有，解得.故选：C.10．（2020·全国高三月考（理））已知抛物线：上的点到焦点的距离为，若点在：上，则点到点距离的最小值为（    ）A． B． C． D．2【答案】B【解析】依题意，，故，则；由对称性，不妨设，故到点距离的最小值为.故选：B.11．（2020·云南高三其他（理））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，联立抛物线与切线方程，转化得，，解得，当时，直线方程为，，解得，则，因为，所以，解得；当时，同理得，综上所述，抛物线方程为，故选：C.12．（2020·安徽月考（理））已知命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，命题：表示椭圆，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ）A． B．C．且 D．且【答案】C【解析】对于命题表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，所以，对于命题表示椭圆，所以，解得且，因为命题“”为真命题，所以命题和命题均为真命题，所以实数的取值范围是且.故选：C.13．（2020·河北秦皇岛·期末）己知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，满足，则线段的中点的横坐标为（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由抛物线方程可知，假设横坐标分别为，由抛物线的准线的性质可知 ，中点的横坐标为.故选;A14．（2020·内蒙古赤峰·月考（理））已知抛物线，设的准线与轴的交点为，过点作的切线，其中在第一象限内的切点为.若双曲线与抛物线相交于点，且的焦点恰好是的一个焦点，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵抛物线的焦点坐标为，的焦点恰好是的一个焦点，∴①.由可得，设点坐标为，则，∴切线，将代入上式，解得或（舍去），∴点坐标为.将代入双曲线方程，得②.由①②联立解得∴.故选：D.15．（2020·河南洛阳·高二期末（理））已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，由，得，则，则 即 同理直线的方程为 ，联立的方程可得，则，又由，得为三角形的重心,则， ，得，则，又抛物线上，得，即，准线方程为.故选：A. 二、填空题16．（2020·云南昆明一中月考（理））已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点，若，且，则的值为___________.【答案】【解析】抛物线的焦点为， 设，，假设直线斜率存在，设直线方程为：，由 可得：，所以 ，，， 因为，则，所以，即， 所以，可得，所以，所以.故答案为：17．（2020·上海黄浦·格致中学月考）已知直线与抛物线交于两点，其中点位于轴两侧，为坐标原点，若，则点到直线距离最大值为________【答案】3【解析】：根据题意，设，，直线的方程为：，所以联立方程，得，所以，，又，解得或，又因为点位于轴两侧，故，故.所以点到直线距离，当且仅当时等号成立，故点到直线距离最大值为.故答案为：18．（2020·河南高三其他（理））已知点在抛物线上，过点P作两条直线分别交抛物线C于相异两点A，B，若直线，的倾斜角互补，则直线的斜率为________.【答案】－1【解析】将点P的坐标代入抛物线C的方程得，又，解得，所以点P的坐标为.由题意知的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，点A，B的坐标分别为，，联立方程，消去x后整理为，，则，，.直线的斜率为，同理，直线的斜率为，由直线，的倾斜角互补，得，得，可得，所以.故答案为：19．（2020·云南昆明一中高三其他（理））已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为_______【答案】【解析】：由题意联立方程组，解得或因为P在x轴上方，所以、,因为抛物线C的方程为，所以，所以，因为，所以，解得：，故答案为：20．（2020·河南高三月考（理））抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则______.【答案】或【解析】由于抛物线的焦点为，则，可得，则抛物线的方程为，设的方程为，设点、，联立，消去得，，由韦达定理得，因此，可得，所以，，，即，设，可得，即，解得或.因此，或.21．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三其他（理））已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，为抛物线准线上相异的两点，且，两点的纵坐标之积为－8，直线，分别交抛物线于，两点，若，，三点共线，则=________.【答案】【解析】抛物线的的焦点为，准线为，，两点的纵坐标之积为－8，则设，则直线OM的方程为，直线ON的方程为，因为直线，分别交抛物线于，两点，所以，，若，，三点共线，则，又，所以，化简得，又，所以，解得或（舍去）.故答案为： 三、解答题22．（2020·云南文山·高三其他（理））已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l与曲线交于A，B两点，设，，则.（1）求曲线的方程；（2）设离心率为且长轴为4的椭圆的方程为.又曲线与过点且斜率存在的直线相交于M，N两点，已知，O为坐标原点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】：（1）由已知得，设直线l的方程为，∴，∴，∴曲线的方程为.（2）由已知得，，∴，∴曲线的方程为，设直线的方程为，则.设，，∴，∴直线的方程为.23．（2020·河北高三月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，因为，，则，，．由，可得，化简得，即动点的轨迹的方程为．（2）设，，由题意知，，易知，不妨设，因为，所以，所以． ①设直线的方程为，联立消去，得，则，可得，  ②  由①②联立，解得，所以．24．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（理））已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点)，当B，C，F三点共线时，直线BC的斜率为1，.（1）求抛物线T的标准方程；（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设直线BC的方程为：，则，设，则，所以抛物线T的标准方程为：.（2）令，，则，则，直线BC的方程为：，令直线BC与y轴交于点H，则，所以，所以或0(舍)，令BC中点为，则，所以中点轨迹方程.25．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线E于A、B.（1）若垂直l于点，且，求AF的长；（2）O为坐标原点，求的外心C的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，得，，故；（2）设，直线，由，得，由韦达定理得：，即有，易得的中垂线方程联立可得：，可得：，外心的轨迹方程为.26．（2020·河北桃城·衡水中学高三一模（理））已知抛物线：上的点到焦点的距离最小值为1.（1）求的值；（2）若点在曲线：上，且在曲线上存在三点，，，使得四边形为平行四边形.求三角形的面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】：（1）由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故最小值点应为，准线，由题意可得，解得；（2）当直线斜率不存在时，此时直线为垂直轴的直线，与抛物线只有一个交点，故舍去.当直线斜率存在时，设直线：，点在曲线：上，故，设，，联立方程，得，，，故线段的中点，若要满足四边形为平行四边形，则，关于点对称.则.又点在抛物线上，故满足方程，即①到直线的距离为，，，代入①得：，当时，.所以三角形的面积的最小值.27．（2020·全国高三课时练习（理））设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.【解析】：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.28．（2020·浙江高三其他）已知O是坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，的重心为G.（1）求动点G的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）焦点，显然直线AB的斜率存在，设，联立，消去y得，，设，，，则，，所以，所以，消去k，得重心G的轨迹方程为；（2）由已知及（1）知，，，，，，因为，所以，(注：也可根据斜率相等得到)，，，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为.29．（2020·安徽高三其他（理））已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线交抛物线于两点，.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线相交于两点，已知，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点，使得直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定点为.【解析】（1）焦点，则直线为，联立，消去消可得，恒成立， 设，，则，，解得，所以抛物线的方程为.（2）设直线为，联立方程，消可得，， 设，，则，不妨设点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，则，又轴，所以平行轴，设，则 ，所以，即，所以，即，所以直线为：，令，解得，所以直线恒过此定点.30．（2020·江西昌江·景德镇一中高三月考（理））已知点为曲线的焦点，点在曲线运动，当点运动到轴上方且满足轴时，点到直线的距离为.（1）求曲线的方程；（2）设过点的直线与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得，点到直线的距离为 即，解得，所以曲线的方程为：.（2）由（1）可得，不妨设直线为：，联立方程组 ，消去可得，设，，则，，假设存在，使直线与直线关于轴对称，则，即，整理可得，所以，解得，所以.