专题4 基本初等函数的图像和性质-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

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专题4基本初等函数的图像和性质一、单选题1．函数在的图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，然后利用特殊函数值进行判断即可.【详解】因为，，所以为奇函数，因此函数的图像关于原点对称，故排除A，又因为，，，，故排除B，C.故选：D2．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式 的解集为（    ）A．               B． C．   D．【答案】A【分析】根据为偶函数，可得在上的单调性，将所求整理为或，根据的性质，即可求得答案.【详解】因为在R上的偶函数，且上单调递减，所以在上单调递增，且，则等价于或，根据的单调性和奇偶性，解得或，故选：A3．已知函数的定义域为，函数，则函数的定义域为（    ）A． B．(0, 1) C． D．【答案】B【分析】根据函数的定义域为，得到，然后由求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，解得 ，所以的定义域为(0, 1)故选：B4．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C．   D．【答案】C【分析】先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.【详解】因为，所以，即的值域为[1,2]，因为对于任意，总存在，使得成立，所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，当时，在上为增函数，所以，所以，所以，解得，当时，在上为减函数，所以，所以所以，解得，综上实数a的取值范围是，故选：C【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.5．已知函数的值域为R．则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】当函数的值域为时，命题等价于函数的值域必须包含区间得解【详解】的值域为R令，则的值域必须包含区间当时，则当时，符合题意；当时，不符合题意；当时，，解得，即实数的取值范围是故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.6．已知函数满足，则（    ）A．7 B．4 C．3 D．1【答案】A【分析】根据分段函数的特征，讨论值所在的区间，代入相应解析式即可求解．【详解】当时，，且满足，即；当时，，，不满足，故（舍去）．则；故选：A.【点睛】易错点睛：本题主要考查分段函数求值，注意求的值需在所讨论的区间内，不满足的需舍去．7．设，则 （    ）A． B．25 C． D．【答案】D【分析】由对数化为指数可得答案【详解】由，可得，所以，故选：D.8．函数是定义域为的奇函数，且，已知，，则函数的最小值为（    ）A．-2 B．-1 C． D．0【答案】B【分析】先由函数是定义域为的奇函数，求得的解析式，进而得到的解析式，再由可得函数是以4为周期的函数，则与的也是以4为周期的函数，只需求出在上的最小值即可.【详解】设 ，则，所以 ，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，又，所以，所以，所以该函数的最小值为-1.故选：B9．若二次函数在区间上的最大值为6，则（    ）A． B．或5 C．或-5 D．【答案】C【分析】讨论二次项系数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】显然，有，当时，在上的最大值为，由，解得，符合题意；当时，在上的最大值为，由，解得，所以的值为或-5.故选：C10．函数是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则以下关系正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的性质，利用函数的单调性进行判断即可.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，又因为在为减函数，，所以，即，故选：B11．幂函数经过点，则是（    ）A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数【答案】C【分析】根据幂函数的定义，求得，再由幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】依题意，设，将点代入上式，则，得到，即，所以该函数为奇函数，且在上是增函数，故选：C.12．已知函数，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解【详解】由函数单调性性质得：，在R上单调递增所以在R上单调递增，令函数， 则函数为奇函数，且在R上单调递增，故．故选:A【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.二、填空题13．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围为____________.【答案】或【分析】当时,分， ，求得a的范围，再由，在上单调递减，求得a的范围，取交集，同理，求得a的范围，再由，在上单调递减，求得a的范围，取交集，最后取并集.【详解】当时,当,即时,,解得,此时,当，即时，解得，此时无解，当，即时，，解法，此时无解，所以，又因为，在上单调递减，所以由对勾函数的性质得，解得，此时，.综上：.当时,当,即时, ,解得,此时无解，当，即时，解得，此时，当，即时，，解得，此时，综上：此时，在上单调递减，所以综上：实数a 的取值范围为或故答案为：或【点睛】方法点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．14．已知函数恰有两个零点，则的取值范围为______.【答案】或【分析】当时，求出函数的两个零点是和，当时，求出函数的零点为，然后分三类讨论零点可解得结果.【详解】当时，令，得或；当时，令，得，若的两个零点是和，则，解得，若的两个零点是和，则，解得，若的两个零点是和，则，此不等式组无解，综上所述：的取值范围为或.故答案为：或.【点睛】关键点点睛：利用方程求出三个实根后，按照三种情况讨论函数的零点是哪两个进行求解是解题关键.15．已知偶函数在上单调递增，，则满足的的取值范围是______.【答案】【分析】由偶函数的性质可将变形为，利用函数在上的单调性得出，解此不等式即可得解.【详解】因为为偶函数且在上单调递增，且，由可得，所以，，即，解得.因此，满足的的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.16．已知函数满足，则__________.【答案】1【分析】在中，令即可得解.【详解】因为，所以，故答案为：1三、解答题17．已知函数.（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将变形为，然后求出右边的最大值即可；（2）分、两种情况讨论即可.【详解】（1）对任意的，恒有，即， 整理得对任意的恒成立， 因此，实数a的取值范围是.    （2）.  当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时； 当，即时，在[0, 2]上单调递增，此时综上所述，18．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；（2）求使成立的实数a的取值范围.【答案】（1），为增函数，证明见解析；（2）[0，1).【分析】（1）利用和可求出，，然后利用单调性的定义可得的单调性；（2）利用的奇偶性可将不等式化为，然后利用其单调性去掉即可解出答案.【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，即，则，所以，又因为，得，所以，.    设且，则  ，，，在上是增函数（2）由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，由，得，， 即，解得.故实数的取值范围是[0，1).19．已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.（1）求，的解析式，并判断的单调性；（2）已知，且，不等式成立，求的取值范围.【答案】（1），，单调递增；（2）.【分析】（1）由可得，然后结合奇偶性可解出，的解析式，然后判断出的单调性即可；（2）由可得，然后可得，然后分、两种情况讨论即可.【详解】（1）由题可得，则又，所以，因为在上单调递增，在上单调递减所以函数在上单调递增（2）等价于因为函数单调递增，则当时，上式等价于，即当时，上式等价于，即综上可知，20．已知函数满足，当时，，且.（1）求的值，并判断的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；在上为增函数；（2）.【分析】（1）利用赋值法求出的值，利用函数的单调性定义判断的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.【详解】（1）令，得，得，令，得，得；设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以，因为，所以，所以，因此即在上为增函数；（2）因为，即，即，又，所以，又因为在上为增函数，所以在上恒成立；得在上恒成立，即在上恒成立，因为，当时，取最小值，所以；即时满足题意.21．已知函数，函数．（1）若函数的图象过点，求m的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的最小值；（3）若对，都存在，使得，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）1；（3）.【分析】（1）根据，求的值；（2）由（1）可知，化简函数，并利用函数单调性求的最小值，以及利用对称性和单调性求的最小值，再求的最小值；（3）方法一，设函数的值域是，函数的值域是，由条件可知，分情况讨论，判断是否满足，并求的取值范围；方法二，首先求得函数的值域，转化为，求的取值范围.【详解】（1）由得：，令，则所以或（舍），则      （2）由（1）知函数令，，则：当时递增，函数在上递增，所以函数在R上递增，则当时，；另一方面，函数的图象关于对称，且先增后减，则当时，，所以，当且仅当时，的最小值为   （3）法1：与问题（2）同理，已知函数在R上单增，故在上的值域为，设的值域为B，则，①当时，当时，函数在上递减，故，设函数，令，，则：当时，递减，函数在上递增，所以函数在R上递减，故当时，，即，不满足；②当时，的图象关于对称，且在递增，在上递减，故，又，故，由情况①知，即，不满足；③当时，的图象关于对称，且在递增，在上递减，故，又，故，，由有：，所以此时；④当时，当，函数在上递增，故，由有：，所以此时；综合①②③④有： 法2：与问题（2）同理，易知函数在R上单增，故在上的值域为，设的值域为B，则函数，则，因此只需在上的最小值即可．由于函数的图象关于对称，且先增后减，故当时，，又则必有：，而当，时，在上递增，此时，故当且仅当时，满足，因此所求范围为．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．22．已知函数满足：．（1）求的解析式；（2）设，且的最小值为3，求实数a的值．【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）用替换x得，解方程组得解；（2）由（1）可知，再对分三种情况讨论，结合函数的单调性求最值得解.【详解】（1）用替换x有：，又，联立方程可得： （2）由（1）可知，则：①当时：<i>当，函数的对称轴，所以在上递增，其最小值为；<ii>当，函数的对称轴，所以在上的最小值为；综合<i>、<ii>以及可知：时，②当时：<i>当，函数的对称轴，所以在上递增，其最小值为；<ii>当，函数的对称轴，所以在上递减，无最小值，且在上恒成立；综合<i>、<ii>可知：时，或1，故无解③当时：<i>当，函数的对称轴，所以在的最小值为；<ii>当，函数的对称轴，所以在上递减，无最小值且在上恒成立；综合<i>、<ii>以及可知：时，，综合①②③可知：或-3【点睛】方法点睛：求分段函数的最值，常用的方法有：（1）先分别求每一段的最值，再比较每一段的最值得解；（2）先求出分段函数的单调性，再通过图象分析得解.