2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第八章　立体几何 8-2 word版含答案

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1．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)

A．4π   B. 

C．6π   D.

答案：B

解析：由题意可得，若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝，该球的体积最大，Vmax＝πR3＝×＝.

2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)

A．1＋   B．2＋

C．1＋2   D．2

答案：B

解析：根据三视图还原几何体如图所示，

其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2××2×1＋2××()2＝2＋.故选B.

3．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案：C

解析：原毛坯的体积V＝(π×32)×6＝54π，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积V′＝V1＋V2＝(π×22)×4＋(π×32)×2＝34π，故所求比值为1－＝.

4．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)

A．1       B．2 

C．3       D．4

答案：B

解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝＝2，故选B.

课外拓展阅读

空间几何体表面上的最值问题

所谓空间几何体表面上的最值问题，是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题．

　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝5，则沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为________．

　将此长方体沿某一条侧棱剪开，得到展开图，求展开图中AC1的平面距离即可，注意对不同情况的讨论．

　在长方体的表面上从A到C1有三种不同的展开图．

(1)将平面ADD1A1绕着A1D1折起，得到的平面图形如图①所示．则AB1＝5＋3＝8，B1C1＝4，连接AC1，在Rt△AB1C1中，AC1＝＝＝4.

①

(2)将平面ABB1A1绕着A1B1折起，得到的平

面图形如图②所示．则BC1＝5＋4＝9，AB＝3，连接AC1，

在Rt△ABC1中，AC1＝＝＝3.

②

③

(3)将平面ADD1A1绕着DD1折起，得到的平面图形如图③所示．则AC＝4＋3＝7，CC1＝5，连接AC1，在Rt△ACC1中，AC1＝＝＝.

显然<4<3，故沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为.

反思提升

将空间几何体表面进行展开是化解最值问题的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上，将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行侧面展开，这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题，结合问题的具体情况在平面上求解最值即可．