2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第九章　解析几何 9-2 word版含答案

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1．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(0,2)

C．(0，＋∞)  D．(1，＋∞)

答案：A

解析：不妨设P1(x1，ln x1)，P2(x2，－ln x2)，

由于l1⊥l2，所以×＝－1，则x1＝.

又切线l1：y－ln x1＝(x－x1)，

l2：y＋ln x2＝－(x－x2)，于是A(0，ln x1－1)，B(0,1＋ln x1)，所以|AB|＝2.

联立

解得xP＝.

所以S△PAB＝×2×xP＝，

因为x1>1，所以x1＋>2，

所以S△PAB的取值范围是(0,1)，故选A.

2．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)

A. (0,1)   B.

C.    D.

答案：B

解析：如图①所示，点F在线段AB上时，

可求得E，

则S△EFB＝·＝S△ABC＝，

整理得a＝，

由

可解得≤b<；

①②

如图②所示，当点F在点A左侧时，可求得E，G，

则S四边形ABEG＝S△BEF－S△AFG＝·－·＝S△ABC＝，

整理可得a2＝－2b2＋4b－1，

由

可解得1－<b<或1<b<1＋(舍去)．

综上可得，b的取值范围为，故选B.

3．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

答案：－3

解析：由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得

－5＝4a＋.①

又y′＝2ax－，

所以在点P处的切线斜率4a－＝－.②

由①②解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.

4．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

答案：5

解析：∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，

∴A(0,0)，B(1,3)．

当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；

当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，

∴△APB为直角三角形，

∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，

∴|PA|·|PB|≤＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．

课外拓展阅读

直线过定点及直线的距离最值问题

专题一　直线过定点问题

直线l的方程中除去x，y还有其他字母(称为参数)，若直线l过一个定点P，求定点P的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P的坐标．

　已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程．

　由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程．

　因为点P(2,3)在已知直线上，

所以2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，

所以2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，

即＝－，

所以所求直线方程为y－b1＝－(x－a1)．

所以2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.

　点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．

　解法一：点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的距离d＝＝，

则设f(m)＝d2＝＝4×

＝4，

下面求(m∈R)的最大值．

设3－4m＝t，则m＝.

当m<时，t>0，

则＝＝＝

≤＝4，

当且仅当t＝，即t＝5时等号成立；

当m＝时，＝0；

当m>时，t<0，则0>＝

＝＝≥＝－1，

当且仅当t＝，即t＝－5时等号成立．

综上可得，(m∈R)的最大值为4，

所以点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是＝2.

解法二：对于直线l：mx－y－3＝0(m∈R)，

令m＝0，则有－y－3＝0；

令m＝1，则有x－y－3＝0，

解方程组得

则直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．

由原题答图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值，此时|PQ|＝＝2，

所以点P(2,1)到直线l的最大距离是2.

　2

方法探究

受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴．

专题二　有关直线的距离最值问题

　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．

(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．

　(1)设A关于直线l的对称点A′(m，n)，

则解得

故A′(－2,8)．

P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，

则点P就是直线A′B与直线l的交点，

解得

故所求的点P的坐标为(－2,3)．

(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，

当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，

则点P就是直线AB与直线l的交点，

又直线AB的方程为y＝x－2，

解得

故所求的点P的坐标为(12,10)．

　已知点A(3,1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．

　由点A(3,1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点为点B(1,3)，同样可求得点A关于y＝0的对称点为点C(3，－1)，如图所示．

则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，

当且仅当B，M，N，C四点共线时，△AMN的周长最短，为|BC|＝2.

由B(1,3)，C(3，－1)可得，直线BC的方程为2x＋y－5＝0.

由得

故点M的坐标为.

对于2x＋y－5＝0，令y＝0，得x＝，

故点N的坐标为.

故在直线y＝x上找一点M，在y＝0上找一点N，可使△AMN的周长最短，最短周长为2.

领悟整合

在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB′上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P必在AB′的延长线或BA′的延长线上，故将l异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A′，B′为点A，B关于l的对称点)．