2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十章　统计与统计案例 10-2 word版含答案

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1．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是(　　)

A．19  B．20  C．21.5  D．23

答案：B

解析：由茎叶图可知，这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为＝20.

2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)

A．8  B．15  C．16  D．32

答案：C

解析：已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C.

3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)

A．1＋a,4       B．1＋a,4＋a

C．1,4       D．1,4＋a

答案：A

解析：给每个数据都加上常数a后，均值也增加a，方差不变，故选A.

4．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．

解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.

(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.

由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.

(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，

而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.

由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，

解得x＝2.9.

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

课外拓展阅读

巧解平均数和方差

平均数和方差的计算是每年高考的必考内容，下面介绍平均数和方差的两个计算技巧．

1．找齐法

在计算平均数时，如果这些数字都在某个数字左右摆动，就选取一个数字作为标准进行找齐．

　计算一组数据的平均数和方差：87,86,90,82,83,85,88,80,79,90.

　这组数据都在85左右摆动，把每个数字减去85后进行计算．

　每个数据都减去85后得数据2,1,5，－3，－2,0,3，－5，－6,5，

这组数据的平均数是

＝0，

故原数据的平均数为85＋0＝85.

数据组2,1,5，－3，－2,0,3，－5，－6,5的方差是＝13.7，

这个方差就是数据组87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的方差．

　找齐法的依据是

平均数：

＝

＝a＋；

方差s2＝

＝

其中a为选取作为标准的数字，在使用找齐法时a的选取可以多种多样，原则是便于计算．

2．方差的简化公式法

方差的一个简化公式是s2＝＝－2，这只要把方差公式展开进行重组即可证明．

　计算数据54,55,53,56,57,58的方差．

　可以根据简化公式进行计算，也可以把每个数据减去一个数，找齐计算．

　解法一：

＝

≈3 083.166 7，

＝55.5，

故s2＝3 083.166 7－55.52＝2.916 7≈2.92.

解法二：每个数据减去55得新数据组－1,0，－2，1,2,3，

该组数据的方差与原数据组的方差相等，

根据简化公式＝≈3.17，

＝＝0.5，

故s2＝3.17－0.52＝2.92.

技巧点拨

方差反映的是数据组偏离平均值的程度，因此把数据组中每一个数据都加上或者都减去一个相同的数不影响方差的大小，当我们计算的数据组较大时，这个方法能有效地简化运算．