2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第四章　三角函数与解三角形 4-5 word版含答案

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 www.ks5u.com 真题演练集训 1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)A．y＝cos   B．y＝sinC．y＝sin 2x＋cos 2x   D．y＝sin x＋cos x答案：A解析：y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确．2．设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期(　　)A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关答案：B解析：由于f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.当b＝0时，f(x)的最小正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)A．11   B．9  C．7   D．5答案：B解析：因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在上单调，所以T≥，k≤.又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.4．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案：π　(k∈Z)解析：∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，∴ 函数f(x)的最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．5．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．解：(1)f(x)＝sinsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π.当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减． 课外拓展阅读 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．1．y＝asin2x＋bsin x＋c型函数的最值可将y＝asin2x＋bsin x＋c中的sin x看作t，即令t＝sin x，则y＝at2＋bt＋c，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x的取值范围，求出t的范围．另外，y＝acos2x＋bcos x＋c，y＝asin2x＋bcos x＋c等形式的函数的最值都可归为此类．　设x∈，求函数y＝4sin2x－12sin x－1的最值．　→→　令t＝sin x，由于x∈，故t∈.y＝4t2－12t－1＝42－10，因为当t∈时，函数单调递减，所以当t＝－，即x＝－时，ymax＝6；当t＝1，即x＝时，ymin＝－9.2．y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值可利用降幂公式将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x整理转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C求最值．　求函数y＝sin x(cos x－sin x)的最大值．　　y＝sin x(cos x－sin x)＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－＝(sin 2x＋cos 2x)－＝sin－.因为0<x<，所以<2x＋<，所以当2x＋＝，即x＝时，ymax＝.3．y＝型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有sin x或cos x的一次式的形式，一般可将其化为f(y)＝sin(ωx＋φ)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．　求函数y＝的最值．　　由y＝，得ysin x－cos x＝－2y，所以sin(x－φ)＝－2y(其中φ为辅助角)，所以sin(x－φ)＝，又|sin(x－φ)|≤1，所以≤1，2≤1，解得－1≤y≤1，故ymax＝1，ymin＝－1.4．y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x＋c型函数的最值对于y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c，令sin x＋cos x＝t，t∈，因为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，所以sin xcos x＝，则函数就变为y＝at＋b·＋c的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于形如y＝a(sin x－cos x)＋bsin xcos x＋c的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．　求函数y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值．　　y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x，令t＝sin x＋cos x，则t∈，且sin xcos x＝，所以y＝16－12t＋9×＝(9t2－24t＋23)．故当t＝时，ymin＝.5．通过换元转化为代数函数的最值通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．　已知x∈(0，π)，求函数y＝的最大值．　→→　令sin x＝t(0<t≤1)，则y＝＝≤＝，当且仅当t＝时等号成立．故ymax＝.　已知x∈(0，π)，求函数y＝sin x＋的最小值．　令sin x＝t(0<t≤1)，然后求导，利用函数的单调性求最值．　设sin x＝t(0<t≤1)，则原函数可化为y＝t＋，因为y′＝1－＝＝，所以当0<t≤1时，y′<0，则y＝t＋在(0,1]上为减函数，所以当t＝1时，ymin＝3.即函数y＝sin x＋的最小值是3.温馨提示y＝sin x＋型三角函数求最大值时，当sin x>0，a>1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解．