2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第五章　平面向量 5-3 word版含答案

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 www.ks5u.com 真题演练集训 1．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°   B．45°  C．60°   D．120°答案：A解析：由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.2．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0.|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A.   B.  C.   D．π答案：A解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵ |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，∴ |b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴ cos θ＝.又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝.4．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)A．1   B．2  C．3   D．5答案：A解析：由条件可得，(a＋b)2 ＝10，(a－b)2 ＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－   B.  C.   D.答案：B解析：如图，设＝m，＝n.根据已知得，＝m，所以＝＋＝m＋n，＝m－n，·＝·(m－n)＝m2－n2－m·n＝－－＝. 6.已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤ ，则a·b的最大值是________．答案：解析：由题意，令e＝(1,0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤，可得|cos α|＋2|cos β|≤.①令sin α ＋2sin β＝m.②①2 ＋②2，得4≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4≤1.故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2≤. 课外拓展阅读 以向量为背景的创新题　(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝，若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a·b和b·a都在集合中，则a·b等于(　　)A.   B.  C．1   D.　D　　先根据定义表示a·b和b·a，利用其属于集合，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈确定cos θ的取值范围，结合集合中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a·b的值．　根据新定义，得a·b＝＝＝cos θ，b·a＝＝＝cos θ.又因为a·b和b·a都在集合中，设a·b＝，b·a＝(n1，n2∈Z)，那么(a·b)·(b·a)＝cos2θ＝，又θ∈，故cos2θ∈，所以0<n1n2<2.所以n1，n2的值均为1.故a·b＝＝.(2)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．　　根据定义先写出m⊗，进而求出，确定函数y＝f(x)的解析式．　设Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝＋＝，由消去x，得d＝sin，所以y＝f(x)＝sin，易知y＝f(x)的值域是.方法点睛解答创新型问题时，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算，然后确定解题策略，根据题目条件进行求解．