初中数学人教版七年级下册9.2 一元一次不等式学案

实际问题与一元一次不等式（第1课时）

【学习目标】1、能进一步熟练的解一元一次不等式，会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决简单的实际问题.2通过观察、实践、讨论等活动，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，提高分类考虑、讨论问题的能力，感知方程与不等式的内在联系，体会不等式和方程同样都是刻画现实世界数量关系的重要模型

【学习重点】一元一次不等式在实际问题中的应用

【学习难点】在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系。

一【自主学习】

（一）预习自我检测

1、不等式的性质有哪些？它与等式的性质有何异同点？

2、解一元一次方程的步骤有哪些？解一元一次不等式呢？

3、练习:解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）5x+15＞4x-1          （2）2（x+5）＜3（x-5）

二【合作探究】

例1               某单位要制作一批宣传材料，甲广告公司提出：每份材料收费50元，另收设计费2000元，乙广告公司提出：每份材料收费70元，不收设计费。

（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算？

（3）什么情况下两公司的收费相同？

解：设宣传材料共有x份，甲公司费用(        )元，乙公司费用     元

（1）、若选择甲公司比较合算，     则                      解得          

（2）若选择乙公司比较合算，      则                      解得           

（3）若选择两公司费用相同，      则                      解得           

答：若宣传材料大于    份，选择甲公司比较合算；

    若宣传材料小于    份，选择乙公司比较合算；

    若宣传材料等于    份，选择两公司费用相同。

问题1：　你能从实际问题的解答，归纳、概括出利用一元一次不等式解实际问题的一般步骤吗？

小结：列一元一次不等式解应用题的一般步骤：

（1）设：分析题目中已知什么，求什么，设适当的未知数（2）找：找出题目中的所有不等关系

（3）列：列不等式组（4）解：求出不等式组的解集（5）答：写出符合题意的答案问题2　甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？

（1）甲商店购物款达多少元后可以优惠；乙商店购物款达多少元后可以优惠？

（2）现在有4个人，准备分别消费40元、80元、140元、160元，那么去哪家商店更合算？为什么？

（3）如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗？

（4）累计购物超过100元而不到150元时，在哪个店购物花费小？累计购物恰好是150元时，在哪个店购物花费小？

（5）根据甲乙商店的销售方案，顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？你能为消费者设计一套方案吗？

分析：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑？

分三种情况考虑：①累计购物不超过50元；②累计购物超过50元但不超过100元；③累计购物超过100元。

（1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗？为什么？

没有区别。因为两家商店都没有优惠。

（2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在哪家商店购物花费小？为什么？

在乙商店购物花费小。因为乙商店有优惠，而甲商店没有优惠。

（3）如果累计购物超过100元，那么在哪家商店购物花费小？

因为两家商店都有优惠，所以要分三种情况考虑：

设累计购物x元(x＞100)，则在甲商店购物花费多少元？在乙商店购物花费多少元？

在甲商店购物花费：                 元；在乙商店购物花费：                 。

（1）若在甲商场购物花费小，则                             解之，得                

（2）若在乙商场购物花费小，则                             解之，得                

③若在两家商场购物花费相同。                            解之，得                

答：如果累计购物不超过    元，则在两店购物花费一样多。如果累计购物超过    元但不超过    元，则在乙商店购物花费小。若累计购物多于    元，在甲商场购物花费小；若累计购物等于    元，在两商场购物花费一样多；若累计购物多于    元少于    元，在乙商场购物花费小。

注意：问题比较复杂时，要考虑分类解答。分类要做到不重不漏。

三【达标测试】

　1、小兰准备用30元买钢笔和笔记本，已知一支钢笔4.5元，一本笔记本3元。

（1）她买了5本笔记本，则她最多还可以买多少支钢笔？

（2）钢笔和笔记本共8件，则她最多可以买多少支钢笔？

（3）如果她钢笔和笔记本共买了8件，则她有多少种购买方案？

实际问题与一元一次不等式（二）

【学习目标】1、能进一步熟练的解一元一次不等式，会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决简单的实际问题.2、通过去分母的方法解一元一次不等式，让学生了解数学中的化归思想，感知不等式与方程的内在联系。

【学习重点】一元一次不等式在实际问题中的应用。

【学习难点】在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系。

一【自主学习】（预习课本132-133页）

二【合作探究】

问题1：某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？

分析：“超过90分”是什么意思？本题的不等关系是什么？

“超过90分”就是大于90分；不等关系是：答对的得分-答错或不答的扣分＞90。

解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20-x。根据他的得分要超过90，得

10x-5(20-x) ＞90       10x-100+5x ＞90     15x ＞90       ∴x ＞38/3

  思考： 这是本题的答案吗？为什么？

   这不是本题的答案。因为x是正整数且不能大于20，所以 小明至少要答对13题。

问题2：2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果到2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？

分析：（1）、2002年北京空气质量良好的天数是多少？

2002年北京空气质量良好的天数是365×55%;

（2）、用x表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？

2008年北京空气质量良好的天数是x+365×55%

（3）、2008年共有多少天？与x有关的哪个式子的值应超过70%？这个式子表示什么？本题的不等关系是什么？

;不等关系是:2008年北京空气质量良好的天数÷366 ＞70%.

（4）、怎样解不等式（x+365×55%）/366 ＞70% ？

解：设2008年北京空气质量良好的天数比2002年增加x天，依题意，得

（x+365×55%）/366 ＞70%

去分母，得x+200.5 ＞256.2

移项，合并同类项，得  x＞55.45

思考：这是本题的答案吗？为什么？本题的答案是什么？

不是。因为x为正整数。     ∴x≥56

答：2008年北京空气质量良好的天数至少比2002年增加56天。

注意：用不等式解应用问题时，要考虑问题的实际意义。问题1与问题2中的未知数都应是正整数。

（5）、比较解这个不等式与解方程（x+365×55%）/366 = 70% 的步骤，两者有什么不同吗？

学生分组讨论，师生共同归纳：

解一元一次不等式 与解一元一次方程类似，只是不等式两边同乘（或除）以一个数时，要注意不等号的方向。解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a 的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a(或x<a) 的形式。

三【达标测试】

1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：

（1）、（x-1）/ 7 < (2x+5)/3                  (2) 、(x+1)/6 < (2x-5)/ 4+1

2、当x或y满足什么条件时，下列关系成立？

（1） 2(x+1+)大于或等于1；                   （2） 4x与7的和不小于6

（3）y 与1 的差不大于2y与3 的差；       (4)  3y与7的和的1/4小于 -2

3、有人问一位老师：“你所教的班级有多少学生？”老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足六位学生在足球。”求这个班共有多少学生？

4、有一批学生聚在一起合影留念，已知冲一张底片要0.6元。洗一张照片要0.4元，现每人都拿到一张照片，平均分摊的钱没超过0.5元。参加合影的同学至少有几人？

实际问题与一元一次不等式（3）

【学习目标】1、会根据实际问题中的数量关系列不等式解决问题，熟练掌握一元一次不等式的解法。

2初步感知实际问题对不等式解集的影响，培养学生的数学建模能力和分析问题、解决问题的能力。

【学习重点】根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练列不等式解应用问题。

【学习难点】把生活中的实际问题抽象为数学问题

一【自主学习】

（一）、预习自我检测（预习课本132-133页）

1、某次知识竞赛共有20道题, 每一题答对得10分,答错或不答都扣5分, 小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？

(1)、得分与题目数量有什么关系？

(2)、设小明答对了x道题，则如何用含有x的式子表示得分？本题的不等关系是什么？

 2、电脑公司销售一批计算机，第一个月以每台5500元的价格出售60台，第二个月其降价，后以每台5000元的价格将这批计算机全部售出，销售款总量超过55万元。这批计算机最少有多少台？

注意:实际问题往往需要x为正数或正整数等,所以用数学模型求得的结果要根据实际情况作适当分析调整.

二、【合作探究】

1、我家的电脑要上网，现有两种收费方式：第一种：2元/小时；第二种：不超过30小时，1.5元/小时；超过30小时，2.5元/小时。（1） 如果我每月上网70小时，我应该选择哪种收费方式？（2）如果我每月上网60小时，我应该选择哪种收费方式？（3）如果我每月上网50小时，我应该选择哪种收费方式？

２．学校为了解决部分学生午餐，联系了两家快餐公司，两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对学生优惠：甲公司表示每份按报价的九折收费，乙公司表示购买100份以上的部分按报价的八折优惠。问选择哪家公司较好？

解:设购买x份盒饭,每盒饭单价为”1”,则: y甲= 0.9x;         y乙=100 + 0.8(x -100);

作差: y甲 - y乙 =   0.9x – [100+0.8(x-100)] = 0.1x – 20

当0.1x – 20>0时,解得:x>200  ；     当0.1x – 20=0时,解得:x=200   ；当0.1x – 20<0时,解得:x<200

∴购买盒饭大于200份时,选乙公司;购买200份时,两家一样;购买盒饭小于200份时选甲公司.

三、【达标测试】

1：某校校长暑假将带领该校市级优秀学生乘旅行社的车去A市参加科技夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠”，若全票价为240元.

      (1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙.分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；

      (2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？

      (3) 就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.

2：某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法：

（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款.

 现有一顾客需购买4只茶壶,茶杯若干只(不少于4只).请问:顾客买同样多的茶杯时,用哪一种优惠办法购买省钱?

3：某人的移动电话(手机)可选择两种收费办法中的一种,甲种收费办法是,先交月租15元,每通一分钟电话再收费0.10元;乙种收费办法是,不交月租费,每通一分钟电话收费0.20元.问每月通话时间在什么范围内选择甲种收费办法合适?在什么范围内时选择乙种收费办法合适?