2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》四(含答案)

2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》四

1.各项均不为0的数列{an}满足=an＋2an，且a3=2a8=.

(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}的通项公式为bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=－1，b1=1，a2＋b2=2．

(1)若a3＋b3=5，求{bn}的通项公式；

(2)若T3=21，求S3．

3.在数列{an}中，a＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，且a1=2，a2=5.

(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

4.若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y=－x的图象上(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若c1=0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn=logan.求证：对任意正整数n≥2，

总有≤＋＋＋…＋<.

5.已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1<a2)分别为方程x2－6x＋5=0的两个实根．

(1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)在(1)中，设bn=，求证：当c=－时，数列{bn}是等差数列．

6.在等差数列{an}中，，．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求{bn}的前项和．

7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

（1）已知a=bcosC+csinB，求B；

（2）若a，b，c成等比数列，求证：B≤.

8.已知数列{an}满足an+1=λan+2n(n∈N*，λ∈R)，且a1=2．

(1)若λ=1，求数列{an}的通项公式；

(2)若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{an}的前n项和Sn．

9.已知正项等比数列{an}满足a1,2a2,a3+6成等差数列，且a42=9a1a3．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．

10.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求和：b1+b3+b5+…+b2n-1.

11.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）{bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.

12.在数列{an}中，，

（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；

（2）证明这个数列的通项公式.

13.已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足=．

(I)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}}的通项公式；

 (Ⅱ)设，数列{}的前n项和为Tn，求满足 的n的最大值。

14.已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=.

(1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{cn}的前n项和Tn,并求使得am>对任意n∈N都成立的正整数m的最小值.

15.已知数列{an}的前n项和为，且.

（1）求数列{an}的通项公式；

 （2）定义，其中为实数的整数部分，为的小数部分，且，记，求数列{cn}的前n项和.

答案解析

16.解：(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1=2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，

可得＋=，故数列是等差数列，设数列的公差为d.

因为a3=2a8=，所以=5，=10，所以－=5=5d，即d=1，

故=＋(n－3)d=5＋(n－3)×1=n＋2，故an=.

(2)由(1)可知bn==·=，

故Sn==.

17.解：

设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an=－1＋(n－1)d，bn=qn－1．

由a2＋b2=2得d＋q=3．①

(1)由a3＋b3=5得2d＋q2=6．②

联立①和②解得(舍去)或

因此{bn}的通项公式为bn=2n－1．

(2)由b1=1，T3=21得q2＋q－20=0．

解得q=－5或q=4．

当q=－5时，由①得d=8，则S3=21．

当q=4时，由①得d=－1，则S3=－6．

18.解：

(1)证明：∵a＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，

∴(an＋1＋1)2=(an＋1)(an＋2＋1)，

即=.

∵a1=2，a2=5，∴a1＋1=3，a2＋1=6，∴=2，

∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知，an＋1=3·2n－1，

∴an=3·2n－1－1，∴Sn=－n=3·2n－n－3.

19.解：

(1)∵Sn=－an，∴当n≥2时，an=Sn－Sn－1=an－1－an，∴an=an－1.

又∵S1=－a1，∴a1=，∴an=×n－1=2n＋1.

(2)证明：由cn＋1－cn=logan=2n＋1，得当n≥2时，cn=c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)=0＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2－1=(n＋1)(n－1)．

∴＋＋＋…＋=＋＋＋…＋

=×＋＋＋…＋

==－<.

又∵＋＋＋…＋≥=，

∴原式得证．

20.解：

(1)∵a1，a2(a1<a2)分别为方程x2－6x＋5=0的两个实根，

∴a1=1，a2=5，∴等差数列{an}的公差为4，

∴Sn=n·1＋·4=2n2－n.

(2)证明：当c=－时，bn===2n，

∴bn＋1－bn=2(n＋1)－2n=2，b1=2.

∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列.

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23.解：

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