2021届吉林省白城市第一中学高三上学期第三次月考 文科数学试题（Word版，含答案解析）

2021届吉林省白城市第一中学高三上学期第三次月考

数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，由韦恩图可知阴影部分所表示的集合为，根据并集的概念运算可得结果.

【详解】由得，所以，

因为，所以，所以，

图中阴影部分所表示的集合为.

故选：A

【点睛】关键点点睛：由韦恩图得到阴影部分所表示的集合为是解题关键.

2．下列等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数诱导公式逐项判断.

【详解】；；；

.

故选：D

【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.

3．已知为实数，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.

【详解】由，取则，所以是的不充分条件；

由则有，成立，所以是的必要条件．

综上，是的必要不充分条件．

故选：B

【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

4．如图，在△ABC中，D是BC的中点.若则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，，即可求出.

【详解】可得.

故选：C.

【点睛】本题考查向量的线性运算和基本定理的应用，属于基础题.

5．函数f(x)=ex +4x－4的零点位于（ ）

A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

【答案】B

【分析】由题意首先确定函数的单调性，然后利用函数零点存在定理即可确定零点所在的区间.

【详解】由函数的解析式可得函数单调递增，且：

，

，

，

，

，

结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为.

故选B.

【点睛】本题主要考查函数零点存在定理及其应用，属于基础题.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由诱导公式可得，再根据即可求出.

【详解】，

.

故选：C.

【点睛】本题考查诱导公式的应用，属于基础题.

7．已知函数的图象过点，则图象的一个对称中心为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将代入函数可得，则，令即可求得对称中心.

【详解】由题知，又，

所以，则，

令，则，

当时，，

即为图象的一个对称中心，

可验证其他选项不正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了求三角函数的对称中心，计算量不大，属于基础题.

8．已知定义在实数集R上的偶函数在区间是单调递减函数，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】A

【分析】根据偶函数的性质求出函数在区间的单调性，再根据单调性解不等式即可.

【详解】因为偶函数在区间是单调递减函数，所以在区间是单调递增函数，又，所以，解得.

故选：A

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B．2

C． D．

【答案】B

【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是高为，底面为边长和的四棱锥，代入四棱锥的体积公式求解即可.

【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是四棱锥，高为，底面为边长和的矩形，如图所示：

由四棱锥的体积公式可得，.

故选：B

【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其体积；考查运算求解能力和空间想象能力；正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

10．函数的图象是下列图中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先确定函数奇偶性，舍去A,B；再根据函数值确定选择项.

【详解】为奇函数，舍去A,B；

因为当时，，所以舍去D,

故选：C

【点睛】本题考查函数图象识别、奇函数判断，考查基本分析判断能力，属基础题.

11．设，是不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个命题：

①若，，，则；

②若，，，则；

③若，，则.

④若，，，则；其中正确命题的序号是（    ）

A．①③ B．②③ C．③④ D．①④

【答案】D

【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明.

【详解】对①，根据垂直于两个平行平面中一个平面的直线与另一个平面也垂直，

以及垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；

对②，设三棱柱的三个侧面分别为，其中两条侧棱为，

显然，但与不平行，故②错误.

对③，当三个平面两两垂直时，显然结论不成立，故③错误.

对④，∵，当时，，故④正确.

故选：D.

【点睛】该题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题目.

12．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，

的导函数的图象如图所示．当时，函数的零点的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】根据导函数图象，知是函数的极小值点，极小值为0，函数的大致图象如图所示:

由于绝对值，，

有四个交点，

所以的零点个数为4个，故答案为D.

二、填空题

13．长方体的棱长分别为，，，则其外接球的体积为_______.

【答案】

【分析】根据长方体的结构特征，得到其外接球的直径即等于长方体的体对角线的长，由此求出外接球半径，进而可得外接球的体积.

【详解】因为长方体的外接球直径等于长方体的体对角线的长，

又长方体的棱长分别为，，，

所以该长方体外接球的直径为，即外接球半径为，

所以外接球的体积为.

故答案为：.

14．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则_______.

【答案】

【分析】由题设可得函数的周期为，结合可得关于的方程，从而可求的值．

【详解】因为的图象关于原点对称，故为奇函数，故，

所以，所以，

所以函数的周期为，故，

，

所以，故．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：对于函数的函数值的计算问题，注意根据函数的对称性、奇偶性找出函数的周期，再利用奇偶性、周期性转化到已知的范围上求解．

15．在中，内角，，所对的边分别为，，若，则_______.

【答案】

【分析】先利用三角恒等变换，将原式化为，根据正弦定理，得到，进而可求出结果.

【详解】由

得，

则，

则

即，

由正弦定理可得：，

又角，，为三角形内角，所以，

则，即，所以.

故答案为：.

16．对于函数，若存在非零常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为“类奇函数”，给出下列函数：①，②，③，④，⑤其中所有“类奇函数”的序号是_______.

【答案】②④⑤

【分析】根据题意可得若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，依次判定各个函数是否为中心对称图形即可.

【详解】根据题意可得若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，

对于①，的图象无对称中心，不满足题意，故①错误；

对于②，可看作是的图象向左平移1个单位再向上平移1个单位得到，故关于对称，满足题意，故②正确；

对于③，的图象关于对称，不满足题意，故③错误；

对于④，的图象关于对称，符合题意，故④正确；

对于⑤，令，可得，即为奇函数，则的图象可看作为的图象先向右平移1个单位再向上平移2个单位得到，故的图象关于对称，满足题意，故⑤正确.

故答案为：②④⑤.

【点睛】关键点睛：本题考查函数的对称性，解题的关键是得出若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，将题转化为找函数的对称中心.

三、解答题

17．如图，正方形所在平面与以为直径的半圆所在平面互相垂直，为半圆周上异于，两点的任一点，求证：平面平面

【答案】证明见解析

【分析】可证平面，从而得到要求证的面面垂直.

【详解】证明：∵是半圆直径，∴，

∵四边形是正方形，∴

∵平面平面，且平面平面，

平面，∴平面，

∵平面，∴，∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

18．已知函数，其中，．

（）当时，且为奇函数，求的解析式．

（）当时，且在上单调递减，求的值．

【答案】（）；（）．

【解析】试题分析：

（1）奇函数中，由此可得；

（2）根据二次函数的性质知，又由单调性知，从而可得.

试题解析：

（）因为为奇函数，所以，

即，结合得，

所以当时，，

所以当时，

，

所以，

综上：．

（）因为在上单调递减，则有

，

解得，，所以．

19．如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,.

(1)求证:平面ABCD;
(2)求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；（2）

【分析】(1)根据底面是边长为1的正方形,以及勾股定理,证明,再根据,即可证明平面ABCD；(2)根据四棱锥的底面积为1,高为PA,即可求出四棱锥的体积.

【详解】（1）∵四棱锥的底面是边长为1的正方形，，

∴，∴

又，

∴平面

（2）四棱锥的底面积为1，

∵平面，所以四棱锥的高为1，

∴四棱锥的体积为V＝×1×1=

【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

20．若平面向量, ，函数．

（1）求函数的值域；

（2）记的内角的对边长分别为，若，且

，求角C的值．

【答案】（1）   （2）

【分析】（1）根据向量数量积运算,代入坐标可得的表达式,进而得到值域.

（2）先求得角A,再由及求得a、c的关系，进而得到角C．

【详解】（1）由代入坐标,可得

，

得函数 的值域为

（2）因为

所以

 又

所以

由及

得

则

所以

因为

所以

则

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．

21．已知函数，

（1）当时，求函数的单调区间与极值；

（2）是否存在正实数，使得函数在区间上为减函数？若存在，请求的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）的增区间为，，的减区间为；的极大值为，的极小值为；（2）不存在；答案见解析.

【分析】（1）代入函数解析式，利用导数求函数的单调区间及极值；

（2）利用导数在小于等于零可得答案.

【详解】（1）当时，，

令，解得或 ，

所以，的增区间为，，

的减区间为，

的极大值为，.

的极小值为.

（2）依题意：在上恒成立，

又因为，所以，，.

得即无解.所以，不存在满足条件的正实数.

【点睛】方法点睛：函数在某段区间上恒成立，可以用导数小于等于零，也可以变量分离，构造函数求最值.

22．设函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）先求出切点的坐标，再求出函数在切点横坐标处的导数，从而可求切线方程.

（2）利用导数讨论的单调性，从而可求其最大值，故可得实数的取值范围；

（3）原方程可转化为，令，利用导数可得其单调性，结合零点的个数可得实数满足的不等式组，其解为所求的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为.

∵，

∴切点坐标为：，

∵，∴切线斜率为：，

∴切线方程为：，即：.

（2）∵由，得，(舍去)，

当时，；当时，，

故在上递减，在上递增.

又，，且.

∴当时，的最大值为.

故当时，不等式恒成立.

（3）方程可化为.

记，则，

由，得或(舍去).

由，得.

∴在上递减，在上递增.

为使方程在区间上恰好有两个相异的实根，

只须在和上各有一个实数根，于是有，

整理得到，

因为，

所以，

∴实数的取值范围是.

【点睛】思路点睛：不等式的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题来处理，而最值需利用导数讨论出函数的单调性.给定范围上的零点问题，往往需要利用单调性和零点存在定理来讨论.